Задача о двух конвертах

Задача (Парадокс) двух конвертов — известный математический парадокс теории вероятностей.

Первая формулировка

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём денежки. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет [math] \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X [/math], т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может равновероятно находится [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. В действительности этого не может быть.

Предположим от противного, что существует вероятностное распределение [math]p(x)[/math], определенное на степенях двойки так, что [math]p(2^{x_1})[/math] - вероятность того, что в конвертах будут записаны [math]2^{x_1}[/math] и [math]2^{x_1 + 1}[/math], причем значения этой функции на соседних степенях равны. Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. [math]p(x)[/math] постоянна. Но [math]\displaystyle \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1[/math] (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.

Вторая формулировка

Действительно, пусть нам дано вероятностное распределение геометрической прогрессией:

• вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — [math](1-q)[/math]

• вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — [math](1-q)q[/math]

• вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — [math](1-q)q^2[/math]

• вероятность выпадения [math]2^i[/math] и [math]2^{i+1}[/math] в конвертах — [math](1-q)q^i[/math]

• и так далее.

тогда сумма всех вероятностей действительно [math](1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1[/math]

Итак, пусть нам дали конверт с суммой [math]2^i[/math]. тогда вероятность того, что в другом конверте [math]2^{i-1} \ [/math] — [math] \ \frac{1}{(1+q)} [/math], а того, что в другом конверте [math]2^{i+1} \ [/math] — [math] \ \frac{q}{(1+q)} [/math]

Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать [math]\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) [/math].

При [math]q \gt \frac{1}{2}[/math] последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем [math]2^i[/math]. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?

А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико. Рассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не будем менять конверты.

[math]E = \displaystyle \frac{(1 - q)}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \frac{ (1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \frac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i[/math], а так как [math]q \gt \frac{1}{2}[/math], то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда [math]E = \infty[/math].

А в равенстве [math] \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) [/math] ошибки нет.

Ссылки

Википедия - Парадокс двух конвертов

Очень подробная статья про парадокс