|
|
| (не показано 15 промежуточных версий 2 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Весовая эвристика ==
| + | #перенаправление [[СНМ (списки с весовой эвристикой)]] |
| − | {{Определение|
| |
| − | definition =
| |
| − | '''Весовая эвристика'''(weighted-union heuristic) - улучшение наивной реализации СНМ, при котором список включает поле длины списка, и добавление идет всегда меньшего списка к большему.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | == Проблема наивной реализации ==
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим модифицированную наивную реализацию системы непересекающихся множеств с помощью списка. Кроме ссылок на следующий элемент будем хранить ссылку на представителя(голову списка). При использовании такого представления время работы процедур MAKE_SET, FIND_SET O(1). Процедуру UNION(x, y) мы выполняем, добавляя список с элементом x в список содержащий элемент y. При этом мы должны обновить указатели на представителя у каждого объекта, который содержался в списке, содержащем x. Не трудно привести последовательность из m операций над n объектами, которая требует O(n^2) времени. Предположим, что у нас есть объекты x1, x2, ... xn. Мы выполняем последовательность из n операций MAKE_SET, за которой следует последовательность из n - 1 операции UNION. m = n + (n - 1) = 2n - 1. На выполнение n операций MAKE_SET мы тратим время O(n). Поскольку i-я операция UNION обновляет i объектов, общее количество объектов, обновленных всеми n - 1 операциями UNION равно (сумма i..n-1: i = O(n^2)). Общее количество операций равно 2n - 1, так что каждая операция в среднем требует для выполнения времени O(n). Таким образом амортизированное время выполнения операции UNION составляет O(N). В худшем случае представленная реализация процедуры UNION требует в среднем O(n) времени на вызов, поскольку может оказаться, что мы присоединяем длинный список к короткому и должны при этом обновить поля указателей на представителя всех членов длинного списка.
| |
| − | | |
| − | == Реализация с весовой эвристикой ==
| |
| − | | |
| − | Предположим теперь, что каждый список включает также поле длины списка и что мы всегда добавляем меньший список к большему(при одинаковых длинах порядок добавления безразличен). При такой простейшей весовой эвристике одна операция UNION может потребовать омега эн действий, если оба множества имеют омега эн членов. Однако последовательность из m операций MAKE_SET, UNION и FIND_SET, n из которых составляют операции MAKE_SET, требует для выполнения O(m + n logn) времени.
| |
| − | | |
| − | == Доказательство оценки времени выполнения ==
| |
| − | | |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=При использовании связанных списков для представления СНМ и применении весовой эвристики, последовательность из <tex>m</tex> операций MAKE_SET, UNION, и FIND_SET, <tex>n</tex> из которых составляют операции MAKE_SET, требует для выполнения <tex>O(m+n </tex> lg <tex> n)</tex> времени.
| |
| − | |proof = Вычислим верхнюю границу количества обновлений указателя на представителя для каждого множества из <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим некий фиксированный объект n. Когда мы обновляем указатель на представителя в объекте, он должен находиться в меньшем из множеств. Следовательно, при первом обновлении образованное множество хранит не менее 2 элементов, при втором не менее 4 элементов, и т.д. Продолжая рассуждение приходим к выводу о том, что при <tex>k \leqslant\ n</tex>, после того как указатель на представителя в объекте обновлен <tex>\left\lceil lg\ k \right\rceil</tex>, полученное в результате множество должно иметь не менее <tex>k</tex> элементов. Поскольку максимальное множество может иметь не более <tex>n</tex> элементов, во всех операциях UNION указатель на представителя у каждого объекта может быть обновлен не более <tex>\left\lceil lg\ n \right\rceil</tex> раз. Необходимо также отметить, что обновление <tex>head</tex> и <tex>tail</tex> и длины списка при выполнении операции UNION требует <tex>O(1)</tex> времени. Таким образом, общее время, необходимое для обновления <tex>n</tex> объектов, составляет <tex>O(n </tex> lg <tex> n)</tex>}}
| |
| − | Отсюда легко понять, что время необходимое для выполнения всей последовательности из m операций составит O(m + nlgn). O(m) операций MAKE_SET и FIND_SET, работающих за константное время и суммарное время работы операций UNION для каждого объекта.
| |
| − | | |
| − | *Т. Кормен и остальные. Весовая эвристика, стр. 587 (2е издание)
| |
