Теорема о подгруппах циклической группы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''Теорема''': любая подгруппа <math>H</math> циклической группы <math>G</math> сама является циклическо…»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
'''Теорема''': любая подгруппа <math>H</math> циклической группы <math>G</math> сама является циклической группой.
+
{{Теорема
−
=== Доказательство ===
+
|id=th2
−
Все элементы группы <math>G</math> с образующей <math>a</math> представимы в виде <math>a^n</math>. Предположим, что <math>H</math> нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое <math>n</math>, что <math>a^n\in H</math> и положим <math>a^n=b</math>. Пусть теперь есть некоторое <math>c\in H</math>. Раз <math>c\in H\subseteq G</math>, то <math>c=a^m</math> для некоторого <math>m</math>. Имеем <math>m=k\cdot n+r</math>, где <math>r<n</math>. Вместе с <math>b</math> и <math>c</math> H содержит и <math>b^{-k}\cdot c=a^r</math>. Поэтому если <math>r\neq 0</math>, то <math>n</math> - не минимальное ненулевое число, что <math>a^n\in H</math>. Таким образом, необходимо <math>r=0</math>. Значит, все элементы <math>H</math> представимы в виде <math>b^m</math> для некоторого m, что и означает, что <math>H</math> - циклическая группа.
+
|about=о подгруппах циклической группы
 +
|statement=
 +
Любая [[подгруппа]] <tex>H</tex> [[циклическая группа|циклической группы]] <tex>G</tex> сама является циклической группой.
 +
|proof=
 +
Все элементы группы <tex>G</tex> с образующей <tex>a</tex> представимы в виде <tex>a^n</tex>. Предположим, что <tex>H</tex> нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое <tex>n</tex>, что <tex>a^n\in H</tex> и положим <tex>a^n=b</tex>. Пусть теперь есть некоторое <tex>c\in H</tex>. Раз <tex>c\in H\subseteq G</tex>, то <tex>c=a^m</tex> для некоторого <tex>m</tex>. Имеем <tex>m=k\cdot n+r</tex>, где <tex>r<n</tex>. Вместе с <tex>b</tex> и <tex>c</tex> <tex>H</tex> содержит и <tex>b^{-k}\cdot c=a^r</tex>. Поэтому если <tex>r\neq 0</tex>, то <tex>n</tex> {{---}} не минимальное ненулевое число, что <tex>a^n\in H</tex>. Таким образом, необходимо <tex>r=0</tex>. Значит, все элементы <tex>H</tex> представимы в виде <tex>b^m</tex> для некоторого <tex>m</tex>, что и означает, что <tex>H</tex> {{---}} циклическая группа.
 +
}}
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
[http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/65/book65_9.pdf Нормальное доказательство]
 +
 
 +
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022

Теорема (о подгруппах циклической группы):
Любая подгруппа [math]H[/math] циклической группы [math]G[/math] сама является циклической группой.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Все элементы группы [math]G[/math] с образующей [math]a[/math] представимы в виде [math]a^n[/math]. Предположим, что [math]H[/math] нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое [math]n[/math], что [math]a^n\in H[/math] и положим [math]a^n=b[/math]. Пусть теперь есть некоторое [math]c\in H[/math]. Раз [math]c\in H\subseteq G[/math], то [math]c=a^m[/math] для некоторого [math]m[/math]. Имеем [math]m=k\cdot n+r[/math], где [math]r\lt n[/math]. Вместе с [math]b[/math] и [math]c[/math] [math]H[/math] содержит и [math]b^{-k}\cdot c=a^r[/math]. Поэтому если [math]r\neq 0[/math], то [math]n[/math] — не минимальное ненулевое число, что [math]a^n\in H[/math]. Таким образом, необходимо [math]r=0[/math]. Значит, все элементы [math]H[/math] представимы в виде [math]b^m[/math] для некоторого [math]m[/math], что и означает, что [math]H[/math] — циклическая группа.
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теорема_о_подгруппах_циклической_группы&oldid=85109»