Суффиксный бор

Суффиксный бор (англ. suffix trie) — бор, содержащий все суффиксы данной строки.

По определению, в суффиксном боре для строки [math]s[/math] (где [math]|s| = n[/math]) содержатся все строки [math]s[1 \ldots n], \dotsc, s[n \ldots n][/math]. Заметим, что если в суффиксном боре находится строка [math]s[i \ldots n][/math], то все её префиксы [math]s[i \ldots j][/math] ([math]i \leqslant j \leqslant n[/math]) уже содержатся в боре.

Применение

Суффиксный бор можно использовать для поиска подстроки в строке [math]s[/math] тем же образом, что и для поиска строки в боре. Чтобы бор формально содержал все подстроки [math]s[/math], нужно пометить все его вершины терминальными, при этом корень будет соответствовать пустой строке [math]\varepsilon[/math].

Суффиксный бор для строки [math]abbc[/math]

Свойства

Суффиксный бор для строки «aaabbb»

Суффиксный бор для строки [math]s[/math]:

• можно использовать для поиска образца [math]p[/math] в строке [math]s[/math] за время [math]O(|p|)[/math],
• можно построить за время [math]O(n^2)[/math], последовательно добавив все суффиксы [math]s[/math],
• имеет порядка [math]n^2[/math] вершин в худшем случае. Например, для строки [math]a^n b^n[/math] суффиксный бор будет содержать:

[math]1[/math] корневую вершину,

[math]n[/math] вершин для суффикса [math]b^n[/math],

[math]n[/math] вершин для подстроки [math]a^n[/math], у каждой по [math]n[/math] вершин для соответствующего суффикса [math]b^n[/math].

• итого [math]1 + 2n + n^2 = (n+1)^2 = \theta(n^2)[/math] вершин.

Реализация

Зададим бор его корнем:

struct Trie:
   Node root

По каждому символу будем хранить переход в соответствующую вершину:

struct Node:
   map<char, Node> children

При добавлении узла будем идти вниз по сыновьям и добавлять их, если необходимо:

function add(s : string):
   Node current = root
   for c in s
      if current.children[c] == [math]\varnothing[/math]
         current.children[c] = Node()
      current = current.children[c]

Чтобы построить суффиксный бор для некоторой строки, последовательно добавим в пустой бор все её суффиксы:

function build(s : string):
   root = Node()
   int n = s.size
   for i = 0 to n - 1
      add(s[i..n])

Оценки использования памяти

Пусть мы построили суффиксный бор для строки [math]s \in \Sigma^*[/math] ([math]|s| = n[/math]). Из третьего свойства следует, что если хранить переходы суффиксного бора из каждой вершины как массив размера [math]|\Sigma|[/math] (по каждому символу — переход), то потребуется [math]O(n^2 |\Sigma|)[/math] памяти. Однако, заметим, что число ветвлений в не превышает числа листьев, что, в свою очередь, не превышает количества суффиксов. Количество суффиксов — [math]n[/math], а значит число вершин, из которых ведет больше одного перехода, [math]O(n)[/math]. Поэтому, если в неветвящихся вершинах хранить только символ перехода и ребенка, то можно получить оценку [math]O(n^2 + n|\Sigma|)[/math]. Улучшением суффиксного бора, расходующим всего [math]O( n|\Sigma|)[/math] памяти, является сжатое суффиксное дерево.

См. также

• Сжатое суффиксное дерево

Источники информации

• Дэн Гасфилд — Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.