Смежные классы

Смежные классы

Определение:

Левым смежным классом группы [math]G[/math] по множеству [math]H[/math] назовем множество вида [math]aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G[/math] Аналогично определяется и правый смежный класс [math]Ha[/math]. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

Теорема:

Левые смежные классы [math]G[/math] по подгруппе [math]H[/math] либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса [math]aH[/math] и [math]bH[/math] с общим элементом [math]c[/math]. Докажем, что [math]aH\subseteq bH[/math]. Пусть [math]g=a\cdot h,\,h\in H[/math] принадлежит [math]aH[/math]. Известно: [math]c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}[/math]. Тогда [math]g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH[/math], поскольку [math]h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H[/math]. Значит, [math]aH\subseteq bH[/math]. Аналогично [math]bH\subseteq aH[/math].

[math]\triangleleft[/math]