NP-полнота задачи о вершинном покрытии — различия между версиями
м (→Доказательство NP-полноты) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
| (не показано 8 промежуточных версий 5 участников) | |||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
==Формулировка== | ==Формулировка== | ||
| − | + | Языком COVER называется множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку COVER, если ли граф <math>G</math> содержит вершинное покрытие размера <math>k</math>. Задача о вершинном покрытии является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]]. | |
| + | |||
==Доказательство NP-полноты== | ==Доказательство NP-полноты== | ||
Для доказательства NP-полноты задачи о вершинном покрытии покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP. | Для доказательства NP-полноты задачи о вершинном покрытии покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP. | ||
===Задача о вершинном покрытии является NP-трудной=== | ===Задача о вершинном покрытии является NP-трудной=== | ||
| − | Для доказательства сведем по Карпу [[Задача о независимом множестве|задачу о независимом множестве]] к нашей. | + | Для доказательства [[Сведение по Карпу|сведем по Карпу]] [[Задача о независимом множестве|задачу о независимом множестве]] к нашей. |
<math>IND \le_{k} COVER</math> | <math>IND \le_{k} COVER</math> | ||
| − | Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе <math>G</math> выбрано независимое множество вершин <math>V</math>. Тогда у любого ребра из <math>G</math> одна из вершин не лежит в <math>V</math>, так как иначе какие-то две вершины в <math>V</math> были бы соединены ребром. Значит дополнение <math>V</math> - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе <math>G</math> выбрано вершинное покрытие <math>V</math>. Любому ребру в <math>G</math> инциндентна хотя бы одна вершина из <math>V</math>, значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения <math>V</math>, поэтому дополнение <math>V</math> - независимое множество. | + | Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе <math>G</math> выбрано независимое множество вершин <math>V</math>. Тогда у любого ребра из <math>G</math> хотя бы одна из вершин не лежит в <math>V</math>, так как иначе какие-то две вершины в <math>V</math> были бы соединены ребром. Значит дополнение <math>V</math> - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе <math>G</math> выбрано вершинное покрытие <math>V</math>. Любому ребру в <math>G</math> инциндентна хотя бы одна вершина из <math>V</math>, значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения <math>V</math>, поэтому дополнение <math>V</math> - независимое множество. |
Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время | Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время | ||
===Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP=== | ===Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP=== | ||
| − | В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. Если в | + | В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. Если в графе <math>e</math> рёбер, то за время <math>O(ek)</math> можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе. |
| + | |||
| + | [[Категория:NP]] | ||
Текущая версия на 19:38, 4 сентября 2022
Содержание
Определение
Вершинным покрытием графа называется такое множество его вершин, что у любого ребра в хотя бы одна из вершин лежит в . Размер вершинного покрытия - это число входящих в него вершин.
Формулировка
Языком COVER называется множество пар , где - неориентированный граф, - натуральное число. Слово принадлежит языку COVER, если ли граф содержит вершинное покрытие размера . Задача о вершинном покрытии является NP-полной.
Доказательство NP-полноты
Для доказательства NP-полноты задачи о вершинном покрытии покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.
Задача о вершинном покрытии является NP-трудной
Для доказательства сведем по Карпу задачу о независимом множестве к нашей.
Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе выбрано независимое множество вершин . Тогда у любого ребра из хотя бы одна из вершин не лежит в , так как иначе какие-то две вершины в были бы соединены ребром. Значит дополнение - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе выбрано вершинное покрытие . Любому ребру в инциндентна хотя бы одна вершина из , значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения , поэтому дополнение - независимое множество.
Пусть в графе c вершинами необходимо найти независимое множество размера . По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в есть вершинное покрытие размера . Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время
Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP
В качестве сертификата возьмем набор из вершин. Если в графе рёбер, то за время можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе.
