Периодичность цепных дробей

Теорема:

Пусть [math]\alpha[/math] приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь периодична.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Число [math]\alpha[/math] представимо в виде [math]\frac{a+\sqrt{D}}{c}, a,c,D \in \mathbb{Z}[/math] и [math]a^2-D\vdots c[/math]. Назовём это видом Х. Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-q}, q=[\alpha][/math]. Заметим, что [math]\alpha_1\gt 1[/math]. Преобразуем: [math]\alpha_1=\frac{c}{a+\sqrt{D}-qc}=\frac{c(a-qc-\sqrt{D})}{(a-qc)^2-D}[/math]. Заметим, что [math](a-qc)^2-D\vdots c[/math], значит [math]\alpha_1[/math] представима в виде Х, где [math]a'=(qc-a), c'=\frac{D-(a-qc)^2}{c}[/math] Докажем, что [math]\alpha_1[/math] приведённая. [math]\overline{\alpha_1}=\frac{1}{\overline{\alpha}-[\alpha]}[/math]. Но [math]\overline{\alpha}\in (-1;0), [\alpha]\gt 1[/math], значит [math]\overline{\alpha_1}\in(-1;0)[/math]. Посмотрим теперь на возможные значения [math]a[/math] и [math]c[/math]. [math]\alpha-\overline{\alpha}=\frac{2\sqrt{D}}{c}[/math], откуда из возможных значений [math]\alpha, \overline{\alpha}[/math], следует [math]c\in(0;2\sqrt{D})[/math]. Теперь ограничим a. [math]\alpha+\overline{\alpha}=\frac{2a}{c}[/math], отсюда [math]a\gt 0[/math]. [math]\overline{\alpha}=\frac{a-\sqrt{D}}{c}\Rightarrow a \lt \sqrt{D}[/math]. Количество [math]a,c[/math] конечно, а количество[math]\alpha_n[/math] неограниченно. Значит в какой-то момент у нас зациклятся [math]\alpha_n[/math] и цепная дробь станет периодичной.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\alpha[/math] приведённая квадратичная иррациональность, тогда её цепная дробь чисто периодична.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем аналогичное утверждение [math]\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}[/math]. Введём [math]\beta_i=-\frac{1}{(\overline{\alpha_i})}\in(1;+\infty) \Rightarrow \alpha_i=-\frac{1}{(\overline{\beta_i})}[/math]. [math]\alpha_n=a_n+\frac{1}{\alpha_{n+1}}[/math] отсюда [math]-\frac{1}{(\overline{\beta_n})}=a_n-\overline{\beta_{n+1}}\Rightarrow\overline{\beta_{n+1}}=a_n+\frac{1}{(\overline{\beta_n})}[/math]. Получаем, что [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}\Rightarrow[\beta_{n+1}]=a_n[/math] Осталось только записать переходы [math]\alpha_n=\alpha_m\Rightarrow\beta_n=\beta_m\Rightarrow a_{n-1}=a_{m-1}\Rightarrow\alpha_{n-1}=\alpha_{m-1}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Лагранж):

Число [math]\alpha[/math] представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math]. [math]\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle[/math], тогда введём [math]\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle[/math]. Тогда [math]\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle[/math]. [math]\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0[/math] Поэтому [math]\alpha_k[/math] квадратичная иррациональность, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получим, что [math]\alpha = \frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}[/math]. Поэтому и [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность. [math]\Leftarrow[/math]. Пусть [math]a\alpha^2+b\alpha+c=0[/math]. Разложим [math]\alpha[/math] в цепную дробь и для [math]\forall k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}[/math]. Подставим в уравнение и заменим коэффициенты [math]A_k\alpha_k^2+B_k\alpha_k+C_k=0[/math]. Где [math]A_k=aP_k^2+bP_kQ_k+cQ_k^2[/math], [math]B_k=2aP_kP_{k-1}+bP_{k-1}Q_k+bP_kQ_{k-1}+2cQ_kQ_{k-1}[/math] и [math]C_k=aP_{k-1}^2+bP_{k-1}Q_{k-1}+cQ_{k-1}^2[/math]. Вычислим и упростим дискриминант и получим: [math]B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac[/math]. Ограничим [math]A_k,B_k,C_k[/math]. По тому, что [math]~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\lt \frac{1}{Q_k^2}[/math] имеем [math]\frac{P_k}{Q_k}=\alpha-\frac{\epsilon}{Q_k^2},\epsilon\in(-1;1)[/math]. Отсюда [math]\frac{A_k}{Q_k^2}=a(\frac{P_k}{Q_k})^2+b(\frac{P_k}{Q_k})+c=a\alpha^2+b\alpha+c-2a\alpha\frac{\epsilon}{Q_k^2}+a\frac{\epsilon^2}{Q_k^4}-b\frac{\epsilon}{Q_k^2}[/math]. Отсюда [math]A_k=-2a\alpha\epsilon+a\epsilon-b\epsilon\Rightarrow~|A_k|\leqslant~|2a\alpha|+~|a|+~|b|[/math]. Далее [math]C_k = A_{k-1}[/math], значит тоже ограничено. Теперь [math]B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac[/math] следовательно [math]B_k^2\leqslant 4~|A_kC_k|+~|b^2-4ac|\lt 4(2~|a\alpha|+~|a|+|b|)^2+~|b^2-4ac|[/math]. То есть коэффициенты ограничены, но [math]k[/math] принимает бесконечное число значений, значит [math]\exists i,j:\alpha_i=\alpha_j; i\gt j[/math] значит цепная дробь периодична.

[math]\triangleleft[/math]