Факторгруппа

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] — множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу.

Определение:

Произведением смежностных классов [math]aH[/math] и [math]bH[/math] назовем смежностный класс [math](ab)H[/math].

Утверждение:

Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей [math]a[/math] и [math]b[/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math]. В самом деле, [math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b[/math]. Элемент [math]h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)[/math] лежит в [math]H[/math] по свойству нормальности [math]H[/math]. Следовательно, [math]a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Таким образом, множество смежных классов [math]G/H[/math] с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] — [math]a^{-1}H[/math].

Примеры

• Рассмотрим [math]G=\mathbb{Z}[/math] и её нормальную подгруппу [math]H=n\mathbb{Z}[/math], тогда [math]G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] (группы вычетов по модулю [math]n[/math]) будет являться факторгруппой G по H.
• Рассмотрим группу невырожденных матриц [math] GL_n[/math]. Отображение [math]A \rightarrow \det A[/math] является гомоморфизмом [math]GL_n \rightarrow \mathbb{R}[/math]. Ядро — группа матриц с единичным определителем [math]SL_n[/math]. Поэтому [math]SL_n[/math] является нормальной подгруппой в [math]GL_n[/math] и факторгруппа [math]GL_n/SL_n=\mathbb{R}[/math].

Утверждение:

В группе перестановок из трех элементов [math]G[/math] и ее не нормальной подгруппе [math]H[/math] перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, [math]G/H[/math] не будет являться группой.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим группу [math]S_3[/math](перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу [math]S'_2[/math](перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок [math]S_3/S'_2[/math]: класс [math]E(abc \rightarrow abc[/math] и [math]abc \rightarrow bac)[/math], класс [math]A(abc \rightarrow acb[/math] и [math]abc \rightarrow bca)[/math], класс [math]B(abc \rightarrow сab[/math] и [math]abc \rightarrow cba)[/math]. Это смежные классы для [math]S'_2[/math]. Теперь рассмотрим произведения: [math]abc \rightarrow acb \in A, \, abc \rightarrow cab \in B: (abc \rightarrow acb)(abc \rightarrow cab)=(abc \rightarrow cba) \Rightarrow AB=B[/math] [math] abc \rightarrow bca \in A, \, abc \rightarrow cba \in B: (abc \rightarrow bca)(abc \rightarrow cba)=(abc \rightarrow bca) \Rightarrow AB=E[/math]. Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. [math] \Rightarrow S_3/S'_2[/math] не является группой.

[math]\triangleleft[/math]