Представление групп

Свободная группа

Рассмотрим конечный алфавит [math] \Sigma = \{ a_1, a_2, \dots a_n \}, \; \Sigma^{-1} = \{ a_1^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} [/math].
Рассмотрим множество строк над алфавитом [math] \Sigma \cup \Sigma^{-1} ; \; S = s_1 s_2 \dots s_k , \; s_i \in \Sigma \cup \Sigma^{-1} [/math].

Определение:

[math]S[/math] и [math]S'[/math] называются эквивалентными, если они могут быть превращены друг в друга вставками и удалениями из произвольных мест [math]aa^{-1}[/math] и [math]a^{-1}a[/math].

Таким образом, [math] \Sigma \cup \Sigma^{-1} [/math] с операцией конкатенации будет группой (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им).

Определение:

[math] \Sigma \cup \Sigma^{-1} [/math] называется свободной группой, порожденной алфавитом [math]\Sigma[/math].

Рассмотрим строку. Проредуцируем её (будем последовательно удалять [math]aa^{-1}[/math] из нее, пока в строке не будет таких последовательностей элементов). Поставим вопрос: правда ли, что вне зависимости от последовательности удалений мы будем получать одну и ту же конечную редуцированную строку?

Теорема (О редуцированной строке):

У одной строки существует лишь одна редуцированная строка.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть существуют 2 проредуцированные строки [math]\omega_1[/math] и [math]\omega_2[/math], заданные одной строкой. Тогда существуют цепочки вставок и удалений [math]\omega_1 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \dots \rightarrow S_k \rightarrow \omega_2 [/math], где [math]\rightarrow[/math] − операция вставки или удаления [math]aa^{-1}[/math]. (Существование цепочки обеспечено тем, что эти строки образованы одним элементом). Среди цепочек рассмотрим такую, у которой минимально [math]\sum |S_i|[/math] и пусть [math]S_i[/math] − строка наибольшей длины. Рассмотрим [math] S_{i - 1} \rightarrow S_i \rightarrow S_{i + 1} [/math], причем мы знаем, что переходы от [math]i[/math] к [math]i - 1[/math] и [math]i + 1[/math] обеспечены за счет удаления (из-за того, что длина [math]S_i[/math] максимальна). Эти переходы могут быть обеспечены за счет: Двух непересекающихся пар. Тогда пусть [math] S_{i - 1} = L_1 L_2 b b^{-1} L_3, \quad S_i = L_1 a a^{-1} L_2 b b^{-1} L_3, \quad S_{i + 1} = L_1 a a^{-1} L_2 L_3 [/math], где [math]L_1, L_2, L_3[/math] − некие строки. Таким образом, у нас есть часть цепочки [math]L_1 L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 L_3 [/math]. Заменим эту часть цепочки на [math]L_1 L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 L_2 L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 L_3 [/math]. Заметим, что крайние значения части цепочки от этого не изменятся, но [math]\sum |S_i|[/math] уменьшится, а это противоречит нашему предположению о минимальности суммы. Пар, пересекающихся по двум позициям. Тогда [math]S_{i-1} = S_{i+1}[/math], и можно избавиться от [math]S_{i}[/math] и [math]S_{i + 1}[/math], и от этого сумма длин слов также уменьшится. Пар, пересекающихся по одной позиции. Имеем [math]L_1 a L_2 \rightarrow L_1 a a^{-1} a L_2 \rightarrow L_1 a L_2[/math], и в этом случае мы также можем избавиться от [math]S_{i}[/math] и [math]S_{i + 1}[/math], что также уменьшит итоговую сумму длин строк. Таким образом, мы пришли к противоречию во всех случаях, а это значит, что мы доказали теорему.

[math]\triangleleft[/math]

Задание группы определяющими соотношениями

Пусть также имеем алфавит [math]\Sigma = \{ a_1, \dots a_n \} [/math] и набор пар строк [math]S_1 \sim \omega_1, \dots, S_n \sim \omega_n[/math]. Разрешается где угодно менять [math]\omega_i[/math] на [math]S_i[/math] и наоборот.

Определение:

Выражения [math]S_1 \sim \omega_1, \dots, S_n \sim \omega_n[/math] называются определяющими соотношениями.

Утверждение (без доказательства):

Задача проверки эквивалентности строк при заданных определяющих соотношениях алгоритмически неразрешима.

Пример

Пусть группа [math]G[/math] задана соотношениями [math]G=\{a[/math], [math]b|aba=b[/math], [math]bab=a\}[/math]. Докажем что:

1. [math]a^2=b^2[/math]
2. [math]a^4=b^4=e[/math]
3. [math]|G|=8[/math]

Доказательство:

1) [math]aba=b \Rightarrow a(bab)=bb[/math] подставляем из второго условия группы и получаем: [math] aa=bb \Rightarrow a^2=b^2[/math]

2) [math]aba=b \Rightarrow ba=a^{-1}b[/math], [math]bab=a \Rightarrow ab=b^{-1}a[/math], перемножаем, получаем:[math]abba=e[/math], но из доказанного ранее [math]a^2=b^2 \Rightarrow a^4=e[/math] и [math]b^4=e[/math]

3)Рассмотрим все последовательности из [math]3[/math] элементов: их [math]8[/math]. Заметим, что есть последовательности из трех одинаковых элементов: [math](ааа[/math], [math]bbb)[/math], из [math]2[/math] подряд идущих одинаковых и одного отличного[math](aab[/math], [math]bba[/math], [math]baa[/math], [math]abb)[/math] и [math]aba[/math], [math]bab[/math]. Но [math]b^2=a^2[/math], поэтому [math]aab=baa=b^3[/math], [math]bba=abb=a^3[/math], а [math]aba=b[/math], [math]bab=a[/math], поэтому все тройки равны либо третьей либо первой степени [math]a[/math] или [math]b[/math]. Из таблицы умножения(приведена далее) видно, что произведения приведенной далее видно, что произведение последовательности длинное три(те [math]a^3[/math],[math]b^3[/math], [math]a[/math], [math]b[/math]) не выходит за ее пределы. Те последовательность большей длинны по правилам умножения, задания [math]G[/math] и доказанных равенств будет сокращаться до последовательности длины [math]\lt =2[/math] или [math]a^3[/math] или [math]b^3 \Rightarrow |G|=8[/math]

запишем таблицу умножения для [math]G[/math]:

*	e	a	b	ab	ba	aa	aaa	bbb
e	e	a	b	ab	ba	aa	aaa	bbb
a	a	aa	ab	bbb	b	aaa	e	ba
b	b	ba	aa	a	ab	bbb	ab	e
ab	ab	b	aaa	aa	e	ba	bbb	a
ba	ba	bbb	a	e	bb	ab	b	aaa
aa	aa	aaa	bbb	ba	ab	e	a	b
aaa	aaa	e	ba	b	bbb	a	aa	ab
bbb	bbb	ab	e	aaa	a	b	ba	bb