Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(взята блокировка на статью ^))
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 26 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Лемма Римана-Лебега|<<]][[Функции ограниченной вариации|>>]]
 +
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
В этом параграфе установим ряд результатов, гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>S_n(f, x) \to S</tex>.
 +
 +
__TOC__
 +
 +
== Теорема Дини ==
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Дини
 +
|statement=
 +
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2S</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>
 +
|proof=
 +
<tex>S_n(f, x) - S = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt</tex>
 +
<tex>= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt</tex>
 +
 +
По лемме Римана-Лебега, так как <tex>\varphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, первое слагаемое при <tex>n\to\infty</tex>
 +
стремится к 0.
 +
 +
Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>,
 +
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < \varepsilon</tex>
 +
 +
Тогда <tex>\left|\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|</tex>
 +
<tex>\le \int\limits_0^{\delta} |\varphi_x(t)| \frac{1}{\sin t/2 [\ge t/\pi]} dt + \left| \int\limits_\delta^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|</tex>
 +
 +
<tex>\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt</tex>
 +
<tex>\le \pi\varepsilon </tex> по выбору <tex>\delta</tex> и по условиям теоремы.
 +
 +
<tex>\int\limits_\delta^\pi \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 </tex> по лемме Римана-Лебега, так как <tex>\varphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, а <tex>\frac{\cos t/2}{\sin t/2}</tex> — ограниченная и суммируемая.
 +
}}
 +
 +
Выведем некоторые следствия:
 +
 +
=== Следствие о четырех пределах ===
 +
 +
{{Утверждение
 +
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
 +
|statement=
 +
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, а также существуют <tex>\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex> и <tex>\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
 +
|proof=
 +
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
 +
 +
Доказательство сводится к проверке условий Дини для <tex>s = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
 +
 +
<tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t}  + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}</tex>
 +
 +
Первое слагаемое стремится на бесконечности к <tex>\alpha</tex>, второе {{---}} к <tex>\beta</tex>.
 +
 +
Значит, <tex>\ \frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля и суммируема, то есть, теорема Дини применима.
 +
}}
 +
 +
=== Следствие 2 ===
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>S_n(f, x) \to S</tex>.
 +
Тогда <tex>S = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
 +
|proof=
 +
<tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера,
 +
 +
<tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
 +
 +
Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.
 +
 +
Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>S_n(f, x) \to S</tex>, то и <tex>\sigma_n(f, x) \to S</tex>.
 +
 +
Тогда, по единственности предела, <tex>S=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
 +
}}
 +
 +
=== Следствие 3 ===
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex>
 +
|proof=
 +
Действительно, из совпадения коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\sigma_n(f, x) \to f(x)</tex>, <tex>\sigma_n(g, x) \to g(x)</tex> для любого <tex> x </tex>. Тогда, сопоставляя с равенством сумм, по единственности предела получаем: <tex> f = g </tex>.
 +
}}
 +
 +
[[Лемма Римана-Лебега|<<]][[Функции ограниченной вариации|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

<<>>

Эта статья находится в разработке!

В этом параграфе установим ряд результатов, гарантирующих, что [math]\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0[/math], что равносильно [math]S_n(f, x) \to S[/math].

Теорема Дини

Теорема (Дини):
[math]f\in L_1[/math], [math] S \in \mathbb{R}[/math], [math]\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math], где [math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2S[/math] . Тогда [math] S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]S_n(f, x) - S = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt[/math] [math]= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt[/math]

По лемме Римана-Лебега, так как [math]\varphi_x(t)[/math] — суммируемая, первое слагаемое при [math]n\to\infty[/math] стремится к 0.

Так как, по условию, [math]\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math], [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt \varepsilon[/math]

Тогда [math]\left|\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|[/math] [math]\le \int\limits_0^{\delta} |\varphi_x(t)| \frac{1}{\sin t/2 [\ge t/\pi]} dt + \left| \int\limits_\delta^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|[/math]

[math]\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt[/math] [math]\le \pi\varepsilon [/math] по выбору [math]\delta[/math] и по условиям теоремы.

[math]\int\limits_\delta^\pi \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 [/math] по лемме Римана-Лебега, так как [math]\varphi_x(t)[/math] — суммируемая, а [math]\frac{\cos t/2}{\sin t/2}[/math] — ограниченная и суммируемая.
[math]\triangleleft[/math]

Выведем некоторые следствия:

Следствие о четырех пределах

Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)):
Пусть точка [math]x[/math] регулярна, а также существуют [math]\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}[/math] и [math]\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}[/math]. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна [math]\frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]
[math]\triangleright[/math]

Примечание: Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке [math]x[/math] у [math]f[/math] есть производная.

Доказательство сводится к проверке условий Дини для [math]s = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math]

[math]\frac{|\varphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}[/math]

Первое слагаемое стремится на бесконечности к [math]\alpha[/math], второе — к [math]\beta[/math].

Значит, [math]\ \frac{|\varphi_x(t)|}t[/math] ограничена справа от нуля и суммируема, то есть, теорема Дини применима.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие 2

Утверждение:
Пусть [math]x[/math] — регулярная точка функции и [math]S_n(f, x) \to S[/math]. Тогда [math]S = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]x[/math]— регулярная точка [math]\Rightarrow[/math] по следствию теоремы Фейера,

[math]\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math]

Но суммы Фейера — способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.

Способ средних арифметических регулярен: то есть, если [math]S_n(f, x) \to S[/math], то и [math]\sigma_n(f, x) \to S[/math].

Тогда, по единственности предела, [math]S=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие 3

Утверждение:
[math]f, g \in C[/math], [math]a_n(f)=a_n(g)[/math], [math]b_n(f) = b_n(g)[/math], тогда [math]f=g[/math]
[math]\triangleright[/math]
Действительно, из совпадения коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности [math]C[/math], [math]\sigma_n(f, x) \to f(x)[/math], [math]\sigma_n(g, x) \to g(x)[/math] для любого [math] x [/math]. Тогда, сопоставляя с равенством сумм, по единственности предела получаем: [math] f = g [/math].
[math]\triangleleft[/math]

<<>>