Интеграл Фейера

<<>>

Определение:

Определим так называемые суммы Фейера, как среднее арифметическое сумм Фурье: [math]\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k(f,x)[/math].

Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: [math]\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\int\limits_{Q}f(x+t)D_k(t)dt = \int\limits_{Q}f(x+t)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt[/math]

Определение:

Ядро Фейера — [math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)[/math].

Пользуясь определением, запишем [math]\sigma_n(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt[/math], что принято называть интегралом Фейера. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по [math]Q[/math] ядро Фейера: [math]\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1[/math], то есть ядро Фейера нормированно [math]1[/math]. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу [math]\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt[/math] — основная формула для исследования сходимости сумм Фейера в индивидуальной точке [math]x[/math]. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

Утверждение:

[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{ \sin{(k+\frac{1}{2})t}} {\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin^2{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{((k+\frac{1}{2})t)}\sin{\frac{t}{2}})=[/math] [math] \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin^{2} \frac{t}{2} }\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=[/math] [math]\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Из этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.

Определение:

[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt[/math] называется константой Лебега.

Утверждение:

[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}[/math] при больших [math]n[/math].

[math]\triangleright[/math]

[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt[/math] Так как на [math] [0; \frac{\pi}{2}] [/math] выполняется двойное неравенство [math] \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t [/math], то можно рассматривать [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt [/math]. Разобьем интеграл на две части, [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} [/math]: [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n+1) t}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} (2n+1) dt[/math] [math] \le const [/math]. Оценка сверху: [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n [/math]. Оценка снизу: [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt[/math]. Здесь [math] \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt \sim \ln n[/math], а [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \underset{u = (2n + 1)t}{=} \int\limits_{\pi}^{\frac{(2n + 1)\pi}{2}} \frac {\cos 2u}{u} du \xrightarrow[n \to \infty]{} const [/math] (см. несобственные интегралы из первого семестра). Отсюда получаем требуемое.

[math]\triangleleft[/math]

Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.

Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n[/math], где [math]S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k[/math]. Для расходящихся рядов можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если [math]\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k \to S[/math], то [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = S[/math] по методу средних арифметических. В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: [math]\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)[/math](с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.

<<>>