|
|
| (не показано 9 промежуточных версий 1 участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{В разработке}}
| + | #перенаправление [[Примитивно рекурсивные функции]] |
| − | Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества <tex> \mathbb {N}^t </tex> в <tex> \mathbb {N} </tex>, где <tex> t </tex> - любое натуральное число.Также будем считать что <tex> 0</tex> натуральное число.
| |
| − | == Примитивно рекурсивные функции ==
| |
| − | === Основные определения ===
| |
| − | Рассмотрим следующие правила преобразования функций:
| |
| − | | |
| − | * Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f(x_1,\ldots,x_k) </tex> и <tex> k </tex> <tex>n </tex>-местных функций <tex> g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) </tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </tex> - местная функция <tex> F = f(g_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_n)) </tex>.
| |
| − | : Это правило называется правилом подстановки
| |
| − | | |
| − | * Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f </tex> и <tex> k + 2 </tex>-местную функцию <tex> h </tex>. Тогда после преобразования у нас будет <tex> k+1 </tex> -местная функция <tex> g </tex>, которая определена следующим образом:
| |
| − | : <tex>g(x_1,\ldots,x_n,0)=f(x_1,\ldots,x_n)</tex>
| |
| − | : <tex>g(x_1,\ldots,x_n,y+1)=h(x_1,\ldots,x_n,y,g(x_1,\ldots, x_n,y))</tex>
| |
| − | : Это правило называется правилом рекурсии,при этом будем говорить что рекурсия запускается по аргументу <tex> y </tex>.
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> I(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n </tex>.
| |
| − | | |
| − | }}
| |
| − | Заметим, что если <tex> f </tex> {{---}} <tex> n </tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb {N}^{n} </tex>, так как <tex> f </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразование не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.
| |
| − | | |
| − | Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
| |
| − | *В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> F(x,y) = f(g(y),h(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> F(x,y,z) = f(g(P_{2,2}(x,y)),h(P_{2,1}(x,y),P_{2,1}(x,y),P_{2,2}(x,y))) </tex>, но если <tex> F </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
| |
| − | *В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
| |
| − | В дальнейшем вместо <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто <tex> x_k </tex>, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>.
| |
| − | | |
| − | === Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ===
| |
| − | | |
| − | ==== ''' n '''-местный ноль ====
| |
| − | <tex> \textbf 0 </tex> - функция нуля аргументов.
| |
| − | | |
| − | Выразим сначала <tex> \textbf 0^1 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{1}(y+1) = h(y,\textbf 0^{1}(y)) </tex>, где <tex> h(x,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь выразим <tex> \textbf 0^n </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = h(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> h(x_1,\ldots, x_n,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> I(\textbf{M-1}) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf M^n </tex> - n местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.
| |
| − | | |
| − | ==== Сложения ====
| |
| − | <tex> sum(x,0) = x </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sum(x,y+1) = h(x,y,sum(x,y)) </tex> , где <tex> h(x,y,z)=I(z) </tex>
| |
| − | | |
| − | ==== Умножения ====
| |
| − | <tex> prod(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> prod(x,y+1) = h(x,y,prod(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z)=sum(x,z) </tex>
| |
| − | | |
| − | ==== Вычитания ====
| |
| − | Если <tex> x < y </tex>, то <tex> sub(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> sub(x,y) = x - y </tex>.
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> sub_{1}(x) = x - 1 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub_1(0) = \textbf 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub_1(x+1) = h(x,sub_1(x)) </tex>, где <tex> h(x,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь рассмотрим <tex> sub(x,y) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub(x,0) = x </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub(x,y+1) = h(x,y,sub(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) =sub_1(z) </tex>
| |
| − | | |
| − | ==== Операции сравнения ====
| |
| − | <tex> eq(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> eq(x,y) = 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> le(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le y </tex>, иначе <tex> lq(x,y) = 0 </tex>
| |
| − | <tex> lower(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> lower(x,y) = 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | Сначала выразим <tex> eq_{0}(x) = eq(x,0) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> eq_0(0) =I(\textbf 0) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> eq_0(y+1) = h(y,eq(y)) </tex> , где <tex> h(y,eq(y)) = \textbf 0^2(x,y) </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь все остальные функции
| |
| − | | |
| − | <tex> le(x,y) = eq_0(sub(x,y)) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> eq(x,y) = mul(le(x,y),le(y,x)) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> lower(x,y) = mul(le(x,y),le(I(x),y)) </tex>
| |
| − | | |
| − | ==== IF ====
| |
| − | <tex> if(0,x,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> if(c+1,x,y) = h(c,x,y,if(c,x,y)) </tex> , где <tex> h(c,x,y,d) = x </tex>
| |
| − | | |
| − | ==== Деление ====
| |
| − | <tex> divide(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> divide(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.
| |
| − | | |
| − | Сначала определим <tex> divmax(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему <tex> x </tex> и которое нацело делится на <tex> y </tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex> divmax(0,y) =\textbf 0^{1} </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> divmax(x+1,y) = h(x,y,divmax(x,y)) </tex>,
| |
| − | где <tex> h(x,y,z) = if(eq(sub(I(x),z),y),I(x),z) </tex>,
| |
| − | | |
| − | или не формально если <tex> x+1 - y = z </tex> то <tex> h(x,y,z) = x+1 </tex>, иначе <tex> h(x,y,z) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь само деления
| |
| − | | |
| − | <tex> divide(0,y) =\textbf 0^{1} </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> divide(x,y) = h(x,y,divide(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) = sum(z,eq(I(x),divmax(I(x),y))) </tex>
| |
| − | | |
| − | или не формально если <tex> x+1~\vdots z </tex> то <tex> h(x,y,z) = z+1 </tex>, иначе <tex> h(x,y,z) = z </tex>
| |
| − | | |
| − | Остаток от деления выражается так:
| |
| − | | |
| − | <tex> mod(x,y) = sub(x,mul(y,divide(x,y))) </tex>
| |
| − | | |
| − | ==== Работа со списками фиксированной длины====
| |
| − | С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - того простого числа.
| |
| − | Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
| |
| − | элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
| |
| − | | |
| − | === Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===
| |
| − | ==Теорема о рекурсии==
| |
| − | | |
| − | {{Теорема
| |
| − | |id=th1
| |
| − | |about=О рекурсии
| |
| − | |statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Приведем конструктивное доказательство теоремы.
| |
| − | Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>getSrc()</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
| |
| − | | |
| − | <code><font size = "3em">
| |
| − | p(y){
| |
| − | V(x,y) {...}
| |
| − |
| |
| − | main() {
| |
| − | return V(getSrc(), y)
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | string getSrc() {...}
| |
| − | }
| |
| − | </font></code>
| |
| − | Теперь нужно определить функцию <tex>getSrc()</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>getOtherSrc()</tex>, состоящую из одного оператора <tex>return</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.
| |
| − | <code><font size = "3em">
| |
| − | p(y){
| |
| − | V(x,y) {...}
| |
| − |
| |
| − | main() {
| |
| − | return V(getSrc(), y)
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | string getSrc() {
| |
| − | string src = getOtherSrc();
| |
| − | return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | string getOtherSrc() {...}
| |
| − | }
| |
| − | </font></code>
| |
| − | | |
| − | Теперь <tex>getOtherSrc()</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>
| |
| − | <code><font size = "3em">
| |
| − | p(y){
| |
| − | V(x,y) {...}
| |
| − |
| |
| − | main() {
| |
| − | return V(getSrc(), y)
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | string getSrc() {
| |
| − | string src = getOtherSrc();
| |
| − | return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | string getOtherSrc() {
| |
| − | return " p(y){ // Возвращаем весь предыдущий код
| |
| − | V(x,y) {...}
| |
| − |
| |
| − | main() {
| |
| − | return V(getSrc(), y)
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | string getSrc() {
| |
| − | string src = getOtherSrc();
| |
| − | return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
| |
| − | }";
| |
| − | }
| |
| − | }
| |
| − | </font></code>
| |
| − | | |
| − | }}
| |
| − | Если говорить неформально, теорема о рекурсии утверждает, что внутри программы можно использовать ее код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.
| |
| − | | |
| − | Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
| |
| − | | |
| − | {{Теорема
| |
| − | | |
| − | |about=о неподвижной точке, Клини
| |
| − | |statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]], <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>.
| |
| − | Другими словами: нельзя найти алгоритма, преобразующего про-
| |
| − | граммы, который бы по каждой программе давал другую (не эквива-
| |
| − | лентную ей).
| |
| − | |proof=
| |
| − | Начнём с доказательства леммы.
| |
| − | {{Лемма
| |
| − | |statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности <tex>\equiv</tex>. Тогда следующие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: <br>
| |
| − | # Пусть <tex>f</tex> {{---}} вычислимая функция. Тогда существует всюду определённое вычислимое <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>, то есть такая <tex>g</tex>, что <tex>D(g)=N</tex> и <tex>\forall x</tex> такого, что <tex>f(x) \ne \perp</tex>, выполнено <tex>f(x) \equiv g(x)</tex>.
| |
| − | # Найдётся такая всюду определенная вычислимая <tex>h</tex>, что <tex>\forall n </tex> выполнено <tex>h(n) \not\equiv n</tex>.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Приведем доказательство от противного. Пусть оба утверждения выполнены. <br>
| |
| − | Определим функцию <tex>f</tex> так: <tex>f(x)=U(x,x)</tex>. Заметим, что никакая всюду вычислимая функция не отличается от <tex>f</tex> всюду. <br> Согласно первому утверждению найдётся всюду определённое вычислимое <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>. <br> Определим функцию <tex>t</tex> так: <tex>t(x)=h(g(x))</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} функция из второго утверждения. <br >Если <tex>f(x) \ne \perp</tex>, то <tex>f(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)</tex>, то есть <tex>f(x) \ne t(x)</tex>. Если <tex>f(x)= \perp</tex>, то <tex>f(x) \ne t(x)</tex>, так как <tex>t</tex> всюду определена. Значит, <tex>f</tex> всюду отлична от <tex>t</tex>, получили противоречие.
| |
| − | }}
| |
| − | Теперь определим отношение <tex>\equiv</tex> так: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex>. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной <tex>f</tex> определим <tex>V(n,x) = U(f(n), x)</tex>. <br> Так как <tex>U</tex> {{---}} универсальная функция, то найдётся такая всюду определенная вычислимая функция <tex>s</tex>, что <tex>V(n,x) = U(s(n), x)</tex>. <br> Тогда <tex>\forall x </tex> и <tex> n </tex> будет выполнено <tex>U(f(n), x) = U(s(n), x)</tex>. Значит, <tex>\forall n </tex> <tex> s(n) \equiv f(n)</tex>, то есть <tex>s</tex> {{---}} всюду определенное <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>f</tex>.
| |
| − | Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>h</tex> <tex> \exists n</tex> такое, что <tex>U_{h(n)} = U_n</tex>.
| |
| − | }}
| |
