|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества <tex> \mathbb {N}^t </tex> в <tex> \mathbb {N} </tex>, где <tex> t </tex> - любое натуральное число.Также будем считать что <tex> 0</tex> натуральное число.
| + | #перенаправление [[Примитивно рекурсивные функции]] |
| − | == Основные определения ==
| |
| − | Рассмотрим следующие правила преобразования функций:
| |
| − | | |
| − | * Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f(x_1,\ldots,x_k) </tex> и <tex> k </tex> <tex>n </tex>-местных функций <tex> g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) </tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </tex> - местная функция <tex> F = f(g_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_n)) </tex>.
| |
| − | : Это правило называется правилом подстановки
| |
| − | | |
| − | * Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f </tex> и <tex> k + 2 </tex>-местную функцию <tex> h </tex>. Тогда после преобразования у нас будет <tex> k+1 </tex> -местная функция <tex> g </tex>, которая определена следующим образом:
| |
| − | : <tex>g(x_1,\ldots,x_n,0)=f(x_1,\ldots,x_n)</tex>
| |
| − | : <tex>g(x_1,\ldots,x_n,y+1)=h(x_1,\ldots,x_n,y,g(x_1,\ldots, x_n,y))</tex>
| |
| − | : Это правило называется правилом рекурсии,при этом будем говорить что рекурсия запускается по аргументу <tex> y </tex>.
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> I(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n </tex>.
| |
| − | | |
| − | }}
| |
| − | Заметим, что если <tex> f </tex> {{---}} <tex> n </tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb {N}^{n} </tex>, так как <tex> f </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразование не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.
| |
| − | | |
| − | Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
| |
| − | *В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> F(x,y) = f(g(y),h(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> F(x,y,z) = f(g(P_{2,2}(x,y)),h(P_{2,1}(x,y),P_{2,1}(x,y),P_{2,2}(x,y))) </tex>, но если <tex> F </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
| |
| − | *В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
| |
| − | В дальнейшем вместо <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто <tex> x_k </tex>, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>.
| |
| − | | |
| − | == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ==
| |
| − | | |
| − | === ''' n '''-местный ноль ===
| |
| − | <tex> \textbf 0 </tex> - функция нуля аргументов.
| |
| − | | |
| − | Выразим сначала <tex> \textbf 0^1 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{1}(y+1) = h(y,\textbf 0^{1}(y)) </tex>, где <tex> h(x,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь выразим <tex> \textbf 0^n </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = h(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> h(x_1,\ldots, x_n,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> I(\textbf{M-1}) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> \textbf M^n </tex> - n местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.
| |
| − | | |
| − | === Сложения ===
| |
| − | <tex> sum(x,0) = x </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sum(x,y+1) = h(x,y,sum(x,y)) </tex> , где <tex> h(x,y,z)=I(z) </tex>
| |
| − | | |
| − | === Умножения ===
| |
| − | <tex> prod(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> prod(x,y+1) = h(x,y,prod(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z)=sum(x,z) </tex>
| |
| − | | |
| − | === Вычитания ===
| |
| − | Если <tex> x < y </tex>, то <tex> sub(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> sub(x,y) = x - y </tex>.
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> sub_{1}(x) = x - 1 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub_1(0) = \textbf 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub_1(x+1) = h(x,sub_1(x)) </tex>, где <tex> h(x,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь рассмотрим <tex> sub(x,y) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub(x,0) = x </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> sub(x,y+1) = h(x,y,sub(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) =sub_1(z) </tex>
| |
| − | | |
| − | === Операции сравнения ===
| |
| − | <tex> eq(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> eq(x,y) = 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> le(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le y </tex>, иначе <tex> lq(x,y) = 0 </tex>
| |
| − | <tex> lower(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> lower(x,y) = 0 </tex>
| |
| − | | |
| − | Сначала выразим <tex> eq_{0}(x) = eq(x,0) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> eq_0(0) =I(\textbf 0) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> eq_0(y+1) = h(y,eq(y)) </tex> , где <tex> h(y,eq(y)) = \textbf 0^2(x,y) </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь все остальные функции
| |
| − | | |
| − | <tex> le(x,y) = eq_0(sub(x,y)) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> eq(x,y) = mul(le(x,y),le(y,x)) </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> lower(x,y) = mul(le(x,y),le(I(x),y)) </tex>
| |
| − | | |
| − | === IF ===
| |
| − | <tex> if(0,x,y) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> if(c+1,x,y) = h(c,x,y,if(c,x,y)) </tex> , где <tex> h(c,x,y,d) = x </tex>
| |
| − | | |
| − | === Деление ===
| |
| − | <tex> divide(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> divide(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.
| |
| − | | |
| − | Сначала определим <tex> divmax(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему <tex> x </tex> и которое нацело делится на <tex> y </tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex> divmax(0,y) =\textbf 0^{1} </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> divmax(x+1,y) = h(x,y,divmax(x,y)) </tex>,
| |
| − | где <tex> h(x,y,z) = if(eq(sub(I(x),z),y),I(x),z) </tex>,
| |
| − | | |
| − | или не формально если <tex> x+1 - y = z </tex> то <tex> h(x,y,z) = x+1 </tex>, иначе <tex> h(x,y,z) = y </tex>
| |
| − | | |
| − | Теперь само деления
| |
| − | | |
| − | <tex> divide(0,y) =\textbf 0^{1} </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> divide(x,y) = h(x,y,divide(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) = sum(z,eq(I(x),divmax(I(x),y))) </tex>
| |
| − | | |
| − | или не формально если <tex> x+1~\vdots z </tex> то <tex> h(x,y,z) = z+1 </tex>, иначе <tex> h(x,y,z) = z </tex>
| |
| − | | |
| − | Остаток от деления выражается так:
| |
| − | | |
| − | <tex> mod(x,y) = sub(x,mul(y,divide(x,y))) </tex>
| |
| − | | |
| − | === Работа со списками фиксированной длины===
| |
| − | С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - того простого числа.
| |
| − | Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
| |
| − | элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
| |
| − | | |
| − | == Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ==
| |
| − | {{Теорема
| |
| − | |statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> F </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> T </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> F(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> T(args) </tex>, то <tex> F </tex> примитивно рекурсивная функция.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Каждому состоянию MT поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где:
| |
| − | | |
| − | <tex> L </tex> - состояние MT слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту MT. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.
| |
| − | | |
| − | <tex> R </tex> - состояние MT справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки МТ находятся старшие разряды.
| |
| − | | |
| − | <tex> S </tex> - номер текущего состояния
| |
| − | | |
| − | <tex> C </tex> - символ на который указывает головка ленты.
| |
| − | | |
| − | Тогда всем переходам соответствует функция <tex> f([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние.
| |
| − | Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex> записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> if </tex> следует что и <tex> f </tex> также является примитивно рекурсивной функцией.
| |
| − | | |
| − | Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex> IN </tex> и <tex> OUT </tex>.
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> N([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние MT , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние MT после <tex> t </tex> шагов.
| |
| − | Покажем что N - примитивно рекурсивная функция.
| |
| − | | |
| − | <tex> N([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>
| |
| − | | |
| − | <tex> N([L,R,S,C],t+1) = h([L,R,S,C],t+1,N([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> h([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = f([L1,R1,S1,C1]) </tex>
| |
| − | | |
| − | Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> T(args) </tex> и в итоге получим что <tex> F(args) = OUT(N(IN(args),T(args))) </tex> - примитивно рекурсивная функция.
| |
| − | }}
| |
