|
|
| (не показано 17 промежуточных версий 3 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{В разработке}}
| + | [[Категория: Удалить]] |
| − | == Мультипликативность функции ==
| |
| − | Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>
| |
| − | *1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''
| |
| − | *2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
| |
| − | == Функция Эйлера ==
| |
| − | Функция Эйлера <tex>\varphi (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число чисел ряда <tex>0, 1, \ldots, a-1 </tex>, взаимно простых с '''a'''.
| |
| − | ==== Примеры: ====
| |
| − | <tex> \varphi (1) = 1</tex>, <tex> \varphi (4) = 2</tex>,<br>
| |
| − | <tex> \varphi (2) = 1</tex>, <tex> \varphi (5) = 4</tex>,<br>
| |
| − | <tex> \varphi (3) = 2</tex>, <tex> \varphi (6) = 2</tex>.<br>
| |
| − | ==== Свойства функции Эйлера ====
| |
| − | *1. Функция Эйлера является мультипликативной <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>.
| |
| − | *2. Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда
| |
| − | <tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>
| |
| − | | |
| − | == Количество делителей ==
| |
| − | Арифметическая функция <math>~\tau (a) </math> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':
| |
| − | <center><math>
| |
| − | ~\tau(a) = \sum_{d|a} 1
| |
| − | </math></center>
| |
| − | | |
| − | Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <math>~\tau</math> мультипликативна:
| |
| − | <center><math>
| |
| − | ~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
| |
| − | </math></center>
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> - каноническое разложение числа '''a''',
| |
| − | то в силу мультипликативности
| |
| − | | |
| − | <center><math>
| |
| − | ~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})
| |
| − | </math></center>
| |
| − | | |
| − | Но положительными делителями числа <math>p_i^{\alpha_i}</math> являются <math>~\alpha_i+1</math> чисел <math>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</math>.
| |
| − | | |
| − | Значит,
| |
| − | <center><math>
| |
| − | ~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
| |
| − | </math></center>
| |
| − | | |
| − | == Сумма делителей ==
| |
| − | Функция <math>~\sigma (a) </math> определяется как сумма делителей натурального числа '''a''':
| |
| − | <center><math>
| |
| − | ~\sigma (a) = \sum_{d|a} d
| |
| − | </math></center>
| |
| − | | |
| − | Функция <math>~\sigma (a) </math> мультипликативна по тем же соображениям, что и <math>~\tau (a) </math>
| |
| − | <center><math>
| |
| − | ~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
| |
| − | </math></center>
| |
| − | | |
| − | == Функция Мёбиуса ==
| |
| − | Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
| |
| − | * <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.
| |
| − | * <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' - число простых делителей '''a'''.
| |
| − | | |
| − | ==== Свойства ====
| |
| − | *1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
| |
| − | *2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
| |
| − | : <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>
| |
| − | | |
| − | == Свертка Дирихле ==
| |
| − | '''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:
| |
| − | <center> <tex> (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>
| |
| − | Теорема. <tex> (f*g) </tex> - мультпликативна.
| |
| − | Доказательство:
| |
| − | <tex> (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br>
| |
| − | <tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.
| |
