Обратный оператор

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}:X \rightarrow X[/math] — автоморфизм. Тогда [math]\mathcal{A}^{-1}: X \rightarrow X[/math] называется обратным оператором к [math]\mathcal{A}[/math], если [math]\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^{-1} = \mathcal{A}^{-1} \cdot \mathcal{A} = J[/math].

Теорема (Критерий существования [math]\mathcal{A}^{-1}[/math]):

Для [math]\exists \mathcal{A}^{-1}[/math] нужно и достаточно, чтобы в некотором базисе [math]\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ det A \ne 0[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказывается в конспекте Обратная матрица

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Критерий существования [math]\mathcal{A}^{-1}[/math]):

Для [math]\exists \mathcal{A}^{-1}[/math] нужно и достаточно одного из двух условий: [math]Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\}[/math] [math]Im\mathcal{A} = X[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Первое и второе утверждение равносильны в силу равенства [math]\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = \dim X[/math] [math]Ker\mathcal{A} = \{0_{x}\} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^i \xi^k = 0[/math] имеет только тривиальное решение [math]\Rightarrow det A \ne 0 \Leftrightarrow \exists A^{-1} \Leftrightarrow \exists \mathcal{A}^{-1}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

• Обратная матрица

• Ядро и образ линейного оператора

Источники

• Анин конспект