Алгебра операторных полиномов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 26 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
<tex>P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}</tex>
 
<tex>P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}</tex>
  
Пусть  <tex>A:X->X</tex>;Пусть <tex>p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s ->p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^2</tex>
+
Пусть  <tex>A:X \to X</tex>; и
 +
Пусть <tex dpi="130">p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s \to p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^s</tex>
  
 
<tex>P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}</tex>
 
<tex>P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}</tex>
  
<tex>P(A)</tex> - п.п. <tex>X \times X = {all B:X->X}</tex>
+
<tex>P(A)</tex> - п.п. <tex>X \times X = \{\forall B:X \to X\}</tex>
  
 
<tex>P(A)</tex> - тоже алгебра
 
<tex>P(A)</tex> - тоже алгебра
Строка 11: Строка 12:
 
0) <tex>p(A) \cdot q(A) \in P(A)</tex>
 
0) <tex>p(A) \cdot q(A) \in P(A)</tex>
  
1) <tex>(p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)*r(A))</tex>
+
1) <tex>(p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)\cdot r(A))</tex>
  
 
2) <tex>p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)</tex>
 
2) <tex>p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)</tex>
Строка 24: Строка 25:
  
 
Теорема
 
Теорема
<tex>P(A</tex>) - подалгебра <tex>X \times X</tex> (коммунитативные)
+
<tex>P(A</tex>) - подалгебра <tex>X \times X</tex> (коммутативные)
  
<tex>S_A:P->P(A)</tex>
+
<tex>S_A:P\to P(A)</tex>
  
<tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s -> p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s</tex>
+
<tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s \to p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s</tex>
  
 
<tex>(A^0 = I)</tex>
 
<tex>(A^0 = I)</tex>
Строка 45: Строка 46:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex>p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)</tex> (Н.О.Д. <tex>\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1</tex>)
 
Пусть <tex>p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)</tex> (Н.О.Д. <tex>\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1</tex>)
Тогда <tex>Ker p(A)=Ker p_1(A) + Ker p_2(A)</tex>
+
Тогда <tex>\ker  p(A)=\ker  p_1(A) \dotplus \ker  p_2(A)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
1) Пусть <tex>x=x_1+x_2</tex>, где <tex>x_1 \in Ker p_1(A)</tex>, <tex>x_2 \in Ker p_2(A) => </tex>
+
1) Пусть <tex>x=x_1+x_2</tex>, где <tex>x_1 \in \ker  p_1(A)</tex>, <tex>x_2 \in \ker  p_2(A) \Rightarrow  </tex>
 
<tex>p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = </tex>(коммутативность)<tex> =  
 
<tex>p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = </tex>(коммутативность)<tex> =  
p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =></tex> <tex>x \in Ker p(A)</tex>
+
p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 \Rightarrow </tex> <tex>x \in \ker  p(A)</tex>
  
Итого: <tex>Ker p_1(A)+Ker p_2(A) inini Ker p(A)</tex>
+
Итого: <tex>\ker  p_1(A)+\ker  p_2(A) \subset \ker  p(A)</tex>
  
2) Надо: <tex>Ker p(A) inini Ker p_1(A) + Ker p_2(A)</tex>
+
2) Надо: <tex>\ker  p(A) \subset \ker  p_1(A) + \ker  p_2(A)</tex>
  
 
<tex>\forall x = x_1 + x_2 (?)</tex>
 
<tex>\forall x = x_1 + x_2 (?)</tex>
  
<tex>\forall x \in Ker p(A), x_1 \in Ker p_1(A), x_2 \in Ker p_2(A)</tex>
+
<tex>\forall x \in \ker  p(A), x_1 \in \ker  p_1(A), x_2 \in \ker  p_2(A)</tex>
  
Пусть <tex>x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in Ker p(A)</tex>
+
Пусть <tex>x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in \ker  p(A)</tex>
  
 
Рассмотрим <tex>p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x</tex>
 
Рассмотрим <tex>p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x</tex>
  
I. Итого: <tex>Ker p(A) = Ker p_1(A)+Ker p_2(A)</tex>
+
I. Итого: <tex>\ker  p(A) = \ker  p_1(A)+\ker  p_2(A)</tex>
  
II. <tex>+ -> +..</tex>
+
II. доказательство, что прямая сумма (<tex>\dotplus</tex>)
  
Надо: <tex>Ker p_1(A) per Ker p_2(A) = \{0_x\}</tex>
+
Надо: <tex>\ker  p_1(A) \cap \ker  p_2(A) = \{0_x\}</tex> <br>
<tex><- U:z:Ker p_1(A) per Ker p_2(A)</tex>
+
От противного: пусть <tex>\exists z\in \ker  p_1(A) \cap \ker  p_2(A)</tex> <br>
Рассмотрим <tex>z=Iz=p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0</tex>, ч.т.д.
+
Рассмотрим <tex>z = Iz = p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0</tex>, ч.т.д.
 
}}
 
}}
  
Следствие. Пусть p(\lambda)=\PI_{i=1}^k p_i(\lambda), где p_i(\lambda) - взаимнопростые делители p(\lambda). Тогда <tex>Ker p(A)+..\displaystyle \sum_{i=1}^k Ker p_i(A)</tex>
+
{{Теорема
 
+
|statement=
 +
Пусть <tex>p(\lambda)=\displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex>, где <tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимнопростые делители <tex>p(\lambda)</tex>. Тогда <tex>\ker  p(A) = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^k \ker  p_i(A)</tex>
 +
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 79: Строка 82:
 
}}
 
}}
  
N.B: <tex>p(A)=O <=> \forall x \in X:p(A)x = Ox <=> p(A)x = \{Ox\} <=> Im p(A) =\{Ox\} <=> Ker p(A) =X</tex>
+
N.B:
 
+
Лемма 1.
+
<tex>p(A)=O \Leftrightarrow  \forall x \in X : p(A)x = Ox \Leftrightarrow  p(A)x = \{Ox\} \Leftrightarrow  Im p(A) =\{Ox\} \Leftrightarrow  \ker  p(A) = X</tex>
Рассмотрим <tex>X \times X</tex> и <tex>\{I,A,A^2,...\}</tex>. <tex>dim X=n</tex> <tex>dim X \times X = n^2</tex>
 
  
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Рассмотрим <tex>X \times X</tex> и <tex>\{I,A,A^2,...\}</tex>. <tex>dim X=n \Rightarrow dim X \times X = n^2</tex>
 
Аннулирующие полиномы есть в природе.
 
Аннулирующие полиномы есть в природе.
 +
|proof=
 +
<tex>\{I,A,A^2,...\}</tex> - набор ЛЗ <tex>\Rightarrow </tex> <tex dpi = "130">\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^s = O</tex>
  
<tex>\{I,A,A^2,...\}</tex> - набор ЛЗ <tex>=></tex> <tex>\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^2 = O</tex>
+
Рассмотрим <tex dpi = "130">p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda_s</tex> - аннулирующий полином.
 +
}}
  
Рассмотрим <tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s</tex> - аннулирующий полином.
+
{{Теорема
 
+
|statement=
 
+
Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма <tex>A</tex> образует идеал в алгебре скалярных полиномов <tex>P</tex>.
Теорема.
+
|proof=
 
+
<tex>I_A</tex>  
Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма образует идеал А в алгебре скалярных полиномов P.
 
 
 
I_A  
 
 
 
Рассмотрим p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P => p(\lambda)q(\lambda) \in (I_A) (?)
 
  
 +
Рассмотрим <tex>p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P \Rightarrow  p(\lambda)q(\lambda) \in I_A</tex> (?)
 +
}}
 
<tex>S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O</tex>, ч.т.д.
 
<tex>S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O</tex>, ч.т.д.
  
 +
= Минимальный полином линейного оператора =
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Минимальный полином построенного идеала J_A называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)
+
Минимальный полином построенного идеала <tex>J_A</tex> называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)
 
}}
 
}}
  
Строка 122: Строка 128:
 
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
 
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
  
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \widehat{X_A}(A)x_j != O </tex>
+
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} \Rightarrow  \widehat{X_A}(A)x_j \ne O </tex>
  
 
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
 
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
Строка 129: Строка 135:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement = Для <tex>p(A)=q(A)</tex>, Н и Д, чтобы <tex>(p(\lambda)-q(\lambda))::p_A(\lambda)</tex>
+
|statement = Для <tex>p(A)=q(A)</tex>, Н и Д, чтобы <tex>(p(\lambda)-q(\lambda))</tex> делился на <tex>p_A(\lambda)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>p(A)=q(A) <=> p(A)-q(A) = O <=> (p(A)-q(A))x=Ox </tex>(для <tex>\forall x \in X</tex>)
+
<tex>p(A)=q(A) \Leftrightarrow  p(A)-q(A) = O \Leftrightarrow  (p(A)-q(A))x=Ox </tex>(для <tex>\forall x \in X</tex>)
 
<tex>p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O</tex>
 
<tex>p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O</tex>
 
}}
 
}}
Строка 138: Строка 144:
 
Пусть <tex>r(\lambda)</tex> - остаток от деления <tex>p(\lambda)</tex> на <tex>p_A(\lambda)</tex>
 
Пусть <tex>r(\lambda)</tex> - остаток от деления <tex>p(\lambda)</tex> на <tex>p_A(\lambda)</tex>
 
Тогда <tex>p(A)=r(A)</tex>
 
Тогда <tex>p(A)=r(A)</tex>
 +
 
<tex>p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)</tex>
 
<tex>p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)</tex>
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_a(\lambda)</tex> (<tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимнопростые делители)
+
|statement=  
Тогда <tex>X = ..\sum_{i=1}^n Ker p_i(A)</tex>
+
Пусть <tex>p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (<tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимно простые делители)
<tex>Ker p_A(A) = X</tex>
+
Тогда <tex>X = \dotplus\sum_{i=1}^n \ker  p_i(A)</tex>
 +
потому, что <tex>\ker  p_A(A) = X</tex>
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda)</tex> (взаимнопростые)
 +
Тогда <tex>\ker  p_1(A) = Im p_2(A)</tex>
 +
|proof=
 +
<tex>p_A(A)X = \{Ox\}</tex> <br>
 +
<tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex> <br>
 +
<tex>p_2(A)X = Im p_2(A) \Rightarrow \forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox </tex> <br>
 +
<tex>\Rightarrow  Im p_2(\mathcal{A}) \subset \ker  p_1(\mathcal{A})</tex>  <br>
 +
Надо доказать: <tex>dim Im p_1(\mathcal{A}) = dim \ker  p_1(\mathcal{A}) (?)</tex> <br>
 +
<tex>X=\ker  p_A(\mathcal{A})=\ker  p_1(\mathcal{A}) \dotplus \ker  p_2(\mathcal{A})</tex>
 +
 +
1) <tex>n = dim X = dim \ker  p_1(\mathcal{A}) + dim \ker  p_2(\mathcal{A})</tex> (1)
 +
 +
2) <tex>n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim \ker  p_2(\mathcal{A})</tex> (2)
 +
 +
}}
 +
 +
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022

[math]P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}[/math]

Пусть [math]A:X \to X[/math]; и Пусть [math]p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s \to p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^s[/math]

[math]P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}[/math]

[math]P(A)[/math] - п.п. [math]X \times X = \{\forall B:X \to X\}[/math]

[math]P(A)[/math] - тоже алгебра

0) [math]p(A) \cdot q(A) \in P(A)[/math]

1) [math](p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)\cdot r(A))[/math]

2) [math]p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)[/math]

3) [math](\alpha \cdot p(A))\cdot q(A)=p(A)*(\alpha*q(A))=\alpha(p(A)*q(A))[/math]

4) [math]p(A)*q(A) = q(A)*p(A)[/math]

[math]A^m\cdot A^n=A^n*A^m=A^{m+n}[/math]

[math]m,n \in N[/math]

Теорема [math]P(A[/math]) - подалгебра [math]X \times X[/math] (коммутативные)

[math]S_A:P\to P(A)[/math]

[math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s \to p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s[/math]

[math](A^0 = I)[/math]

Теорема:
Пусть [math]p_1(\lambda)[/math] и [math]p_2(\lambda)[/math] - взаимнопростые Тогда [math]\exists q_1(\lambda) и q_2(\lambda):p_1(A)*q_1(A)+p_2(A)*q2(A)=I[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Было:[math]p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda)=1[/math] [math](*)[/math]

[math]S_A(*): p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda) = S_A 1 = I[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)[/math] (Н.О.Д. [math]\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1[/math]) Тогда [math]\ker p(A)=\ker p_1(A) \dotplus \ker p_2(A)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math]x=x_1+x_2[/math], где [math]x_1 \in \ker p_1(A)[/math], [math]x_2 \in \ker p_2(A) \Rightarrow [/math] [math]p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = [/math](коммутативность)[math] = p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 \Rightarrow [/math] [math]x \in \ker p(A)[/math]

Итого: [math]\ker p_1(A)+\ker p_2(A) \subset \ker p(A)[/math]

2) Надо: [math]\ker p(A) \subset \ker p_1(A) + \ker p_2(A)[/math]

[math]\forall x = x_1 + x_2 (?)[/math]

[math]\forall x \in \ker p(A), x_1 \in \ker p_1(A), x_2 \in \ker p_2(A)[/math]

Пусть [math]x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in \ker p(A)[/math]

Рассмотрим [math]p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x[/math]

I. Итого: [math]\ker p(A) = \ker p_1(A)+\ker p_2(A)[/math]

II. доказательство, что прямая сумма ([math]\dotplus[/math])

Надо: [math]\ker p_1(A) \cap \ker p_2(A) = \{0_x\}[/math]
От противного: пусть [math]\exists z\in \ker p_1(A) \cap \ker p_2(A)[/math]

Рассмотрим [math]z = Iz = p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]p(\lambda)=\displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math], где [math]p_i(\lambda)[/math] - взаимнопростые делители [math]p(\lambda)[/math]. Тогда [math]\ker p(A) = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^k \ker p_i(A)[/math]
Определение:
Пусть [math]p(\lambda):p(A) = O[/math]. Тогда [math]p(\lambda)[/math] называется аннулирующим полиномом линейного оператора A.


N.B:

[math]p(A)=O \Leftrightarrow \forall x \in X : p(A)x = Ox \Leftrightarrow p(A)x = \{Ox\} \Leftrightarrow Im p(A) =\{Ox\} \Leftrightarrow \ker p(A) = X[/math]

Лемма:
Рассмотрим [math]X \times X[/math] и [math]\{I,A,A^2,...\}[/math]. [math]dim X=n \Rightarrow dim X \times X = n^2[/math] Аннулирующие полиномы есть в природе.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\{I,A,A^2,...\}[/math] - набор ЛЗ [math]\Rightarrow [/math] [math]\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^s = O[/math]

Рассмотрим [math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda_s[/math] - аннулирующий полином.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма [math]A[/math] образует идеал в алгебре скалярных полиномов [math]P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]I_A[/math]

Рассмотрим [math]p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P \Rightarrow p(\lambda)q(\lambda) \in I_A[/math] (?)
[math]\triangleleft[/math]

[math]S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O[/math], ч.т.д.

Минимальный полином линейного оператора

Определение:
Минимальный полином построенного идеала [math]J_A[/math] называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)


Пример.

Пусть [math]A[/math]-л.о. с простым спектром.

[math]X_a(\lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)[/math]

[math]A=\displaystyle \lambda_i P_{\lambda_i}[/math]

[math]A = \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot P_{\lambda_i}[/math]

[math]X_A(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_A(\lambda_i)\cdot P_{\lambda_i} = O[/math], т.е. [math]X_A \in J_A[/math]

[math]X_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_j)\cdot \widehat{X_A}(\lambda)[/math]

[math]\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)[/math]

Рассмотрим [math]x_j \in L_{\lambda_j} \Rightarrow \widehat{X_A}(A)x_j \ne O [/math]

[math]X_A(A)=O[/math] - тождество Кэли

[math]X_A(A)[/math] - аннулирующий, но не минимальный полином.

Теорема:
Для [math]p(A)=q(A)[/math], Н и Д, чтобы [math](p(\lambda)-q(\lambda))[/math] делился на [math]p_A(\lambda)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]p(A)=q(A) \Leftrightarrow p(A)-q(A) = O \Leftrightarrow (p(A)-q(A))x=Ox [/math](для [math]\forall x \in X[/math])

[math]p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие Пусть [math]r(\lambda)[/math] - остаток от деления [math]p(\lambda)[/math] на [math]p_A(\lambda)[/math] Тогда [math]p(A)=r(A)[/math]

[math]p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)[/math]

Теорема:
Пусть [math]p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math] ([math]p_i(\lambda)[/math] - взаимно простые делители)

Тогда [math]X = \dotplus\sum_{i=1}^n \ker p_i(A)[/math]

потому, что [math]\ker p_A(A) = X[/math]
Теорема:
Пусть [math]p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda)[/math] (взаимнопростые) Тогда [math]\ker p_1(A) = Im p_2(A)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]p_A(A)X = \{Ox\}[/math]
[math]p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}[/math]
[math]p_2(A)X = Im p_2(A) \Rightarrow \forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox [/math]
[math]\Rightarrow Im p_2(\mathcal{A}) \subset \ker p_1(\mathcal{A})[/math]
Надо доказать: [math]dim Im p_1(\mathcal{A}) = dim \ker p_1(\mathcal{A}) (?)[/math]
[math]X=\ker p_A(\mathcal{A})=\ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus \ker p_2(\mathcal{A})[/math]

1) [math]n = dim X = dim \ker p_1(\mathcal{A}) + dim \ker p_2(\mathcal{A})[/math] (1)

2) [math]n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim \ker p_2(\mathcal{A})[/math] (2)
[math]\triangleleft[/math]