Минимальный полином и инвариантные подпространства

Лемма:

Пусть [math]\mathcal{A}: X\to X[/math], [math]p(\mathcal{A})[/math]- полином от [math]\mathcal{A}[/math]. Тогда [math]Ker \;p(\mathcal{A})[/math] - инвариантное п.п. [math]\mathcal{A}[/math] (возможно и тривиальное).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x \in Ker \;p(\mathcal{A})[/math], т.е. [math]p(\mathcal{A})x = 0[/math]. [math]p(\mathcal{A})(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}(p(\mathcal{A})x) = \mathcal{A}(0) = 0[/math]. Таким образом [math]\mathcal{A}(Ker \; p(\mathcal{A})) \subset Ker \; p(\mathcal{A})[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] - минимальный полином [math]\mathcal{A}[/math], [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math], где [math]p_i(\lambda)[/math] - взаимно простые делители мин. полинома. [math]\deg \; p_i(\lambda)\gt 0[/math] (где [math]i = \overline{1,k}[/math]). Тогда [math]\ker\;p_i(\mathcal{A})[/math] - нетривиальные инвариантные п.п. [math]\mathcal{A}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math]\ker p_i(\mathcal{A}) = X \Rightarrow p_i(\lambda)[/math] - аннулирующий полином. Но [math]\deg p_i(\lambda)\lt \deg \; p_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] !!!. Значит, [math]Ker \; p_i(\lambda) \ne X[/math]. 2) Пусть [math]Ker \; p_i(\mathcal{A}) = \{0_x\}[/math]. [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = p_i(\lambda)p_i'(\lambda)[/math], где [math]p_i'(\lambda) = \displaystyle \prod_{\underset {s \ne i}{s = 1}}^k p_i(\lambda)[/math]. [math]Ker \; p_{\mathcal{A} } = X = Ker\; \underbrace{p_i(\mathcal{A})}_{\{0_x\}} \dotplus Ker\; p_i'(\mathcal{A})[/math]. [math]\dim X = n = 0 + n \Rightarrow \dim Ker\; p_i'(\mathcal{A}) = n \Rightarrow Ker \; p_i'(\mathcal{A}) = X[/math], далее см. 1).

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{k} p_i(\lambda)[/math], [math]p_i(\lambda)[/math] - взаимно простые делители. [math]\deg\; p_i(\lambda) \gt 0 [/math], тогда [math]X = \dotplus \displaystyle \sum_{i = 1}^{k} Ker \; p_i(\mathcal{A})[/math]. Здесь [math]L_i = Ker \; p_i(\mathcal{A})[/math] - у.и.п.п. [math]\mathcal{A}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Следует из теоремы о разложении [math]Ker \; p(\mathcal{A})[/math] в прямую сумму [math]Ker[/math] взаимнопростых делителей [math]p(\mathcal{A})[/math] (Алгебра операторных полиномов), с учетом того, что [math]Ker \; p_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = X[/math] и [math]Ker \; p_i(\mathcal{A})[/math] - инвариантное п.п.(так как сумма прямая ,то у.и.п.п.)

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{k} p_i(\lambda)[/math], [math]p_i' = p_{\mathcal{A}}/ p_i[/math], [math]q_i[/math] - такие , что [math]\displaystyle \sum_{i=1}^{k}p_i'(\lambda)q_i(\lambda) = 1 [/math]. Тогда [math]\mathcal{P}_i = p_i(\mathcal{A})q_i(\mathcal{A})[/math] - ультрапроектор на [math]L_i[/math].

Лемма:

Пусть [math]\mathcal{A}_i = \mathcal{A} |_{L_i}[/math] - компонента [math]\mathcal{A}[/math] в уипп [math]L_i[/math]. Тогда [math]\mathcal{A} = \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i[/math], т.е. [math]\mathcal{A} = \dotplus \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i[/math].

Лемма:

[math]p_i(\lambda)[/math] - минимальный полином компоненты [math]\mathcal{A}_i[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

хз((

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Спектральная теорема для оператора общего вида.):

Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}(\lambda -\lambda_i)^{m_i}[/math] ([math]p_i(\lambda) = (\lambda -\lambda_i)^{m_i}[/math], [math]\lambda_i \ne \lambda_j[/math]). Пусть [math]L_i = Ker \; p_i(\mathcal{A}) = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}[/math]. Тогда 1) [math]L_i = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}[/math] - уипп [math]\mathcal{A}[/math] 2) [math]X = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}L_i[/math] 3) [math]\mathcal{A} = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i = \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i[/math] 4) [math]p_i(\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^{m_i}[/math] - минимальный полином соответствующей компоненты [math]\mathcal{A}_i[/math]

N.B.:

[math]m_i[/math] - ранг уипп [math]L_i[/math]

N.B.:

Пусть [math]n_i = \dim Ker(\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{J})^{m_i} = \dim L_i[/math] рассмотрим [math]\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}[/math] - базис уипп [math]L_i[/math], [math]i = \overline {1,k}[/math] рассмотрим {набор из всех таких [math]\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}[/math]} - базис всего X. Тогда [math]A[/math] в этом базисе равна [math]\begin{pmatrix} A_1 & \cdots & \; \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \; & \cdots & A_k \end{pmatrix} [/math], где [math]A_i[/math] - компонента в своем базисе [math]\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}[/math].