Замена базиса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Матрица перехода к новому базису)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 20: Строка 20:
  
 
== Преобразование сопряженного базиса ==
 
== Преобразование сопряженного базиса ==
 +
 +
<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n} </tex> {{---}} базис <tex>X ; \quad  \{f^j\}_{j=0}^{n} </tex> {{---}} базис <tex>X^*</tex>
 +
 +
<tex> (f^j; e_i) = \delta^j_i</tex>
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement = <tex> \{f^j\}_{j=0}^n \overset{T^{-1}}{\underset{T}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{f}^k\}_{k=0}^n</tex>
 +
|proof=
 +
<tex> \tilde{f}^k \overset{!}{=} \sum\limits_{j = 1}^{n} \beta^k_j f^i</tex>
 +
 +
Пусть <tex>B</tex> {{---}} матрица перехода от <tex>f^j</tex> к <tex>\tilde{f}^k</tex>
 +
 +
Рассмотрим <tex>\delta^k_i = (\tilde{f}^k; \tilde{e}_i) = (\sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j f^j; \sum\limits_{s=1}^n \tau^s_i e_s) =
 +
\sum\limits_{j, s} \beta^k_j \tau^s_i (f^j; e_s) = \sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j \tau^j_i \delta^k_i</tex>
 +
 +
Получается, что <tex>B \cdot T = E \Rightarrow B = T^{-1} = S</tex>
 +
}}
  
 
== Преобразование координат векторов <tex>X</tex> и <tex>X^*</tex> ==
 
== Преобразование координат векторов <tex>X</tex> и <tex>X^*</tex> ==
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

Матрица перехода к новому базису

[math]\{e_i\}_{i=0}^n \xrightarrow{\ T\ } \{\tilde{e}_k\}_{k=0}^n,[/math] где [math]\tilde{e}_k = \sum\limits_{j=1}^n \tau^i_k e_i[/math]

[math]T = ||\tau^i_k||[/math]


Определение:
Заданная матрица [math]T[/math] называется матрицей перехода от базиса [math]e_i[/math] к базису [math]\tilde{e}_k[/math]


Теорема:
[math]T[/math] — невырожденная матрица [math](det T \ne 0)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Столбцы матрицы линейно независимы [math]\Rightarrow Rg T = n \Rightarrow det T \ne 0[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Тогда [math]\exists S = T^{-1} ([/math] далее [math]S = ||\sigma^i_k||)[/math]

Итого: [math]\{e_i\}_{i=0}^n \overset{T}{\underset{T^{-1}}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{e}_k\}_{k=0}^n[/math]

Преобразование сопряженного базиса

[math] \{e_i\}_{i=0}^{n} [/math] — базис [math]X ; \quad \{f^j\}_{j=0}^{n} [/math] — базис [math]X^*[/math]

[math] (f^j; e_i) = \delta^j_i[/math]

Теорема:
[math] \{f^j\}_{j=0}^n \overset{T^{-1}}{\underset{T}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{f}^k\}_{k=0}^n[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \tilde{f}^k \overset{!}{=} \sum\limits_{j = 1}^{n} \beta^k_j f^i[/math]

Пусть [math]B[/math] — матрица перехода от [math]f^j[/math] к [math]\tilde{f}^k[/math]

Рассмотрим [math]\delta^k_i = (\tilde{f}^k; \tilde{e}_i) = (\sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j f^j; \sum\limits_{s=1}^n \tau^s_i e_s) = \sum\limits_{j, s} \beta^k_j \tau^s_i (f^j; e_s) = \sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j \tau^j_i \delta^k_i[/math]

Получается, что [math]B \cdot T = E \Rightarrow B = T^{-1} = S[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Преобразование координат векторов [math]X[/math] и [math]X^*[/math]