|
|
| (не показано 5 промежуточных версий 3 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{В разработке}}
| + | [[Категория: Удалить]] |
| − | == Мультипликативность функции ==
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>
| |
| − | *1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''
| |
| − | *2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | == Сумма делителей ==
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Функция <tex>~\sigma (a) </tex> определяется как сумма делителей натурального числа '''a''':
| |
| − | <center><tex>
| |
| − | ~\sigma (a) = \sum_{d|a} d
| |
| − | </tex></center>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | Функция <tex>~\sigma (a) </tex> мультипликативна по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex>
| |
| − | <center><tex>
| |
| − | ~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
| |
| − | </tex></center>
| |
| − | | |
| − | == Функция Мёбиуса ==
| |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
| |
| − | * <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.
| |
| − | * <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ==== Свойства ====
| |
| − | *1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
| |
| − | *2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
| |
| − | : <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>
| |
| − | | |
| − | == Свертка Дирихле ==
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | '''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:
| |
| − | <center> <tex> (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | '''Свойство.''' <tex> (f*g) </tex> - '''мультпликативна.''' <br>
| |
| − | '''Доказательство свойства:'''
| |
| − | <tex> (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br>
| |
| − | <tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.
| |
