Теоретико-числовые функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Сумма делителей)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Категория: Удалить]]
== Мультипликативность функции ==
 
{{Определение
 
|definition=
 
Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>
 
*1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''
 
*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
 
}}
 
 
 
== Функция Мёбиуса ==
 
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
 
* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.
 
* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.
 
}}
 
 
 
==== Свойства ====
 
*1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
 
*2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
 
: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>
 
 
 
== Свертка Дирихле ==
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:
 
<center> <tex> (f*g)(n) =  \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>
 
}}
 
 
 
 
 
'''Свойство.''' <tex> (f*g) </tex> - '''мультпликативна.''' <br>
 
'''Доказательство свойства:'''
 
<tex> (m;n)=1 \text{  ,} (f*g)(mn) =  \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) =  \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br>
 
<tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.
 

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022