Подсчёт числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа — различия между версиями
Andrew (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Теорема |statement= Число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе <tex>G</tex> равно…») |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 23 промежуточные версии 9 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>H</tex> {{---}} обыкновенный <tex>(n, n - 1)</tex> {{---}} [[Основные определения теории графов|граф]], <tex>n \geqslant 2 </tex>, <tex>I</tex> {{---}} [[Матрица инцидентности графа|матрица инцидентности]] некоторой его ориентации, <tex>M</tex> {{---}} произвольный минор порядка <tex>n - 1</tex> матрицы <tex>I</tex>. Тогда | ||
+ | # если <tex>H</tex> не является [[Дерево, эквивалентные определения|деревом]], то <tex>M = 0</tex>; | ||
+ | # если <tex>H</tex> {{---}} дерево, то <tex>M = \pm 1</tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Заметим, что смена нумерации вершин и нумерации ребер графа <tex>H</tex> приводит к перестановке строк и перестановке столбцов матрицы <tex>I</tex>. Рассматриваемый минор при этом может сменить лишь знак.<br/> | ||
+ | Пусть <tex>v</tex> {{---}} вершина, соответствующая строке матрицы <tex>I</tex>, не вошедшей в матрицу минора <tex>M</tex>. | ||
+ | # Пусть <tex>H</tex> не является деревом. Тогда граф <tex>H</tex> несвязен. Пусть <tex>v_1, ..., v_t</tex> {{---}} множество вершин некоторой [[Отношение связности, компоненты связности|компоненты связности]] <tex>H_1</tex> графа <tex>H</tex>, не содержащей <tex>v</tex>. | ||
+ | ## Если <tex>t = 1</tex>, то <tex>v_1</tex> {{---}} изолированная вершина и в матрице минора <tex>M</tex> имеется нулевая строка, поэтому <tex>M = 0</tex>. | ||
+ | ## Пусть <tex>t > 1</tex>. С помощью подходящей перенумерации вершин и ребер из <tex>H</tex> матрицу <tex>I</tex> приведем к клеточному виду <br/> <center><tex>\begin{pmatrix} I_1 & 0\\0 & I_2 \end{pmatrix}</tex>, </center><br/>где <tex>I_1</tex> {{---}} матрица инцидентности ориентации компоненты <tex>H_1</tex>, а вершине <tex>v</tex> отвечает строка, проходящая через <tex>I_2</tex>. Каждый столбец, проходящий через <tex>I_1</tex>, содержит точно одну единицу и точно одну <tex>-1</tex> (остальные элементы равны нулю). Следовательно, сумма первых <tex>t</tex> строк равна <tex>0</tex>. Так как первые <tex>t</tex> строк входят в матрицу минора <tex>M</tex>, имеем <tex>M = 0</tex>. | ||
+ | # Пусть <tex>H</tex> является деревом. Заново перенумеруем вершины и ребра графа <tex>H</tex> с помощью следующей процедуры. В качестве <tex>v_1</tex> возьмем одну из висячих вершин дерева <tex>H</tex>, отличную от <tex>v</tex>. Через <tex>e_1</tex> обозначим инцидентное ей висячее ребро. Рассмотрим дерево <tex>H_1 = H - v_1</tex>. Если его порядок <tex>\geqslant 2</tex>, то через <tex>v_2</tex> обозначим одну из висячих вершин, отличных от <tex>v</tex>, а через <tex>e_2</tex> {{---}} инцидентное ей висячее ребро. Положим <tex>H_2 = H_1 - e_2</tex>. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим одноэлементное дерево <tex>H_{n-1}</tex>, единственной вершиной которого обязательно будет вершина <tex>v</tex>. Получим нумерацию вершин <tex>v_1, ..., v_n = v</tex> и нумерацию ребер <tex>e_1, ..., e_{n-1}</tex>. В новой нумерации матрица <tex>I</tex> приведется к виду<br/><center><tex>\begin{pmatrix} \pm 1 & 0 &\cdots &0\\* & \pm 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ * & * & \cdots & \pm 1\\ * & * & \cdots & * \end{pmatrix}</tex>,</center><br/> причем вершине <tex>v</tex> отвечает последняя строка (здесь каждый диагональный элемент равен <tex>1</tex> или <tex>-1</tex>, а через <tex>*</tex> обозначены элементы матрицы, значения которых не вписаны в явном виде). Таким образом, матрица минора имеет треугольный вид и <tex>M = \pm1</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{---}} соответственно <tex>(s \times t)</tex> {{---}} матрица и <tex>(t \times s)</tex> {{---}} матрица, где <tex>s \leqslant t</tex>. Положим <tex>C = PQ</tex>. Минор порядка <tex>s</tex> матрицы <tex>Q</tex> называется '''соответствующим минором минору порядка <tex>s</tex> матрицы <tex>P</tex>''', если множество номеров строк, составляющих матрицу первого минора, равно множеству номеров столбцов, составляющих матрицу второго минора. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | Формула Бине-Коши<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B5_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 Формула Бине-Коши] </ref> | ||
+ | |statement= | ||
+ | Определитель матрицы <tex>C</tex> равен сумме всевозможных попарных произведений миноров порядка <tex>s</tex> матрицы <tex>P</tex> на соответствующие миноры матрицы <tex>Q</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | '''Следствие'''<br/> | ||
+ | При <tex>s = t</tex> определитель произведения двух квадратных матриц порядка <tex>s</tex> равен произведению определителей этих матриц | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | Кирхгоф, 1847 | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе <tex>G</tex> равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кирхгофа <tex>B(G)</tex>. | + | Число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе <tex>G</tex> равно алгебраическому дополнению любого элемента [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]] <tex>B(G)</tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | Пусть <tex>G</tex> - произвольный связный обыкновенный <tex>(n, m)</tex>-граф, <tex>n \ | + | Пусть <tex>G</tex> {{---}} произвольный связный обыкновенный <tex>(n, m)</tex> {{---}} граф, <tex>n \geqslant 2</tex> и <tex>I</tex> {{---}} матрица инцидентности какой-либо ориентации графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>m \geqslant n - 1</tex> в силу связности графа <tex>G</tex>. По [[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|лемме]] выполняется <tex>B = B(G) = I \cdot I^T</tex>. Пусть <tex>B'</tex> {{---}} подматрица матрицы <tex>B</tex>, полученная удалением последней строки. Тогда имеем <tex>B' = JJ^T</tex>, где <tex>J</tex> {{---}} это <tex>((n - 1) \times m)</tex> {{---}} матрица. Очевидно, <tex>B_{nn} = \det B'</tex> есть алгебраическое дополнение элемента <tex>\beta_{nn}</tex> в матрице Кирхгофа <tex>B</tex>. В силу формулы Бине-Коши <tex>B_{nn}</tex> равно сумме квадратов всех миноров порядка <tex>(n - 1)</tex> матрицы <tex>J</tex>. Согласно лемме, доказанной выше, каждый такой минор <tex>M</tex> равен <tex>\pm 1</tex>, если остовный подграф графа <tex>G</tex>, ребра которого соответствуют столбцам, вошедшим в матрицу минора <tex>M</tex>, является деревом, и равен <tex>0</tex> в другом случае. Следовательно, <tex>B_{nn}</tex> равно числу остовов графа <tex>G</tex>. Осталось отметить, что по лемме алгебраические дополнения всех элементов матрицы Кирхгофа равны между собой. |
}} | }} | ||
− | + | ||
− | Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр. | + | ==См. также== |
+ | *[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности]] | ||
+ | *[[Матрица Кирхгофа]] | ||
+ | *[[Количество помеченных деревьев]] | ||
+ | *[[Коды Прюфера]] | ||
+ | |||
+ | == Примечания == | ||
+ | <references /> | ||
+ | |||
+ | ==Источники информации== | ||
+ | *Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр. | ||
+ | |||
+ | [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] | ||
+ | [[Категория: Остовные деревья ]] | ||
+ | [[Категория: Свойства остовных деревьев ]] |
Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022
Лемма: |
Пусть граф, , — матрица инцидентности некоторой его ориентации, — произвольный минор порядка матрицы . Тогда
— обыкновенный —
|
Доказательство: |
Заметим, что смена нумерации вершин и нумерации ребер графа
|
Определение: |
Пусть | и — соответственно — матрица и — матрица, где . Положим . Минор порядка матрицы называется соответствующим минором минору порядка матрицы , если множество номеров строк, составляющих матрицу первого минора, равно множеству номеров столбцов, составляющих матрицу второго минора.
Теорема (Формула Бине-Коши[1]): |
Определитель матрицы равен сумме всевозможных попарных произведений миноров порядка матрицы на соответствующие миноры матрицы . |
Следствие
При определитель произведения двух квадратных матриц порядка равен произведению определителей этих матриц
Теорема (Кирхгоф, 1847): |
Число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе матрицы Кирхгофа . равно алгебраическому дополнению любого элемента |
Доказательство: |
Пусть лемме выполняется . Пусть — подматрица матрицы , полученная удалением последней строки. Тогда имеем , где — это — матрица. Очевидно, есть алгебраическое дополнение элемента в матрице Кирхгофа . В силу формулы Бине-Коши равно сумме квадратов всех миноров порядка матрицы . Согласно лемме, доказанной выше, каждый такой минор равен , если остовный подграф графа , ребра которого соответствуют столбцам, вошедшим в матрицу минора , является деревом, и равен в другом случае. Следовательно, равно числу остовов графа . Осталось отметить, что по лемме алгебраические дополнения всех элементов матрицы Кирхгофа равны между собой. | — произвольный связный обыкновенный — граф, и — матрица инцидентности какой-либо ориентации графа . Заметим, что в силу связности графа . По
См. также
Примечания
Источники информации
- Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.