Мультипликативность функции, свёртка Дирихле

Мультипликативность функции

Определение:

Функция [math] \theta (a) [/math] называется мультипликативной, если выполнены следующие условия: 1. Функция [math] \theta (a) [/math] определена для всех целых положительных a и не обращается в 0 хотя бы при одном таком a 2. Для любых положительных взаимно простых [math] a_1 [/math] и [math] a_2 [/math] имеем [math] \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) [/math]

Пример

Простейшим примером такой функции является [math] \theta(a)=a^s[/math]

• [math] \theta(1) = 1^s = 1 [/math]
• [math]\theta(ab) = (ab)^s = a^sb^s = \theta(a)\theta(b) [/math]

Свойства мультипликативных функций

• 1. Из определения следует, что [math] \theta(1)=1[/math].
  • Доказательство: Действительно, пусть [math] \theta(a_0) \ne 0[/math], тогда [math] \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0)[/math].
• 2. Если [math] \theta_1(a),\theta_2(a)[/math] — мультпликативные функции, то [math] \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) [/math] — тоже мультипликативная.
  • Доказательство: [math] \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1[/math] и условия определения выполнены.
• 3. Пусть [math] \theta(a) [/math] — мультипликативная функция и [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда обозначая символом [math] \sum_{d|a}[/math] — сумму, распространенную на все делители d числа a, имеем [math]\sum_{d|a} \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^{\alpha_1}))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^{\alpha_k}))[/math] (в случае [math] a=1 [/math] считаем правую часть равной единице)
  • Доказательство: Для доказательства этого свойства рассмотрим правую часть тождества. В ней будет сумма слагаемых вида : [math] \theta(p_1^{\beta_1})\theta(p_2^{\beta_2})\ldots\theta(p_k^{\beta_k}) = \theta(p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_k^{\beta_k})[/math], причем ни одно такое слагаемое не будет пропущено, и ни одно не повторится более одного раза, а это, как раз, и есть то, что стоит в левой части.

Свертка Дирихле

Определение:

Сверткой Дирихле двух мультипликативных функций f и g, называется функция вида: [math] (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})[/math]

Свойство. [math] (f*g) [/math] — мультпликативна.
Доказательство свойства: [math] (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = [/math]
[math] = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) [/math] ч.т.д.