Rope

Rope (рус. веревка) — структура данных для хранения строки, представляющая из себя двоичное сбалансированное дерево и позволяющая делать операции вставки, удаления и конкатенации с логарифмической асимптотикой.

Иногда при использовании строк нам нужны следующие свойства:

• Операции, которые часто используются на строках, должны быть более эффективными. Например: конкатенация, взятие подстроки.
• Также эти операции должны эффективно работать и с длинными строками. Не должно быть прямой зависимости от длины строк.
• Персистентность. Иногда необходимо при изменении строки сохранить ее состояние перед изменением и вернуться к нему, если необходимо.

В данном случае Rope удовлетворяет всем этим свойствам.

Описание структуры

Для хранения Rope создадим структуру, похожую на декартово дерево по неявному ключу. В каждом листе будем хранить последовательную часть строки и ее длину, а в промежуточных вершинах будем хранить сумму длин всех листьев в поддереве. Изначально дерево состоит из одной вершины — самой строки. Используя информацию в промежуточных вершинах, можно получать символы строки по индексу, как будет показано ниже. Также заметим, что для отметки листа не обязательно хранить дополнительную информацию: все внутренние вершины имеют ровно двух детей, а листы — ни одного. Поэтому для проверки вершины на то, что она является листом, достаточно проверить, есть ли у неё дети.

Merge

Когда приходит запрос на конкатенацию с другой строкой, мы объединяем оба дерева, создав новый корень и подвесив к нему обе строки. Пример результата конкатенации двух строк:

Псевдокод

Node merge(Node n1, Node n2):
    return Node(n1, n2, n1.w + n2.w)

Время работы

Асимптотика выполнения операции конкатенации двух строк, очевидно, [math]O(1)[/math].

Получение символа по индексу

Чтобы получить символ по некоторому индексу [math]i[/math], будем спускаться по дереву из корня, используя веса, записанные в вершинах, чтобы определить, в какое поддерево пойти из текущей вершины. Алгоритм выглядит следующим образом:

• Текущая вершина — не лист, тогда возможно два варианта:
  • Вес левого поддерева больше либо равен [math]i[/math], тогда идем в левое поддерево.
  • Иначе идем в правое поддерево и ищем там [math]i - w[/math] символ, где [math]w[/math] вес левого поддерева.
• Текущая вершина — лист, тогда в этом листе хранится ответ; необходимо взять символ с соответствующим номером у строки, которая там хранится.

Псевдокод

char get(int i, Node node):
    if node.left [math]\ne \varnothing[/math]
        if node.left.w >= i
            return get(i, node.left)
        else
            return get(i - node.left.w, node.right)
    else
        return node.s[i]

Время работы

Асимптотика выполнения одного такого запроса, очевидно, [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Split

Чтобы разбить строку на две по некоторому индексу [math]i[/math], необходимо, спускаясь по дереву (аналогично операции [math]\mathrm{get}[/math]), каждую вершину на пути поделить на две, каждая из которых будет соответствовать одной из половинок строк, при этом необходимо после деления пересчитать вес этих вершин.

Пускай дано дерево:

Тогда результатом выполнения операции [math]\mathrm{split}[/math] по индексу [math] 16 [/math] будет:

Заметим, что появляются лишние вершины, у которых есть только один потомок. От них можно легко избавиться, просто заменив их на этого потомка. Тогда результатом той же операции [math]\mathrm{split}[/math] будет:

Псевдокод

Pair<Node, Node> split(Node node, int i):
    Node tree1, tree2
    if node.left [math]\ne \varnothing[/math]
        if node.left.w >= i
            res = split(node.left, i)
            tree1 = res.first
            tree2.left = res.second
            tree2.right = node.right
            tree2.w = tree2.left.w + tree2.right.w
        else
            res = split(node.right, i - node.left.w)     
            tree1.left = node.left
            tree1.right = res.first
            tree1.w = tree1.left.w + tree1.right.w
            tree2 = res.second
    else
        tree1.s = node.s.substr(0, i)
        tree2.s = node.s.substr(i, node.s.len)
        tree1.w = i
        tree2.w = node.s.len - i
    return [math] \langle [/math]tree1, tree2[math] \rangle [/math]

Время работы

Нетрудно заметить, что асимптотическая сложность выполнения данной операции — [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Операции удаления и вставки

Нетрудно понять, что имея операции [math]\mathrm{merge}[/math] и [math]\mathrm{split}[/math], можно легко через них выразить операции [math]\mathrm{delete}[/math] и [math]\mathrm{insert}[/math] по аналогии с другими деревьями поиска.

Операция [math]\mathrm{delete}[/math] удаляет из строки подстроку, начиная с индекса [math]beginIndex[/math] и заканчивая (не включая) индексом [math]endIndex[/math].

Псевдокод

Node delete(Node node, int beginIndex, int endIndex):
    (tree1, tree2) = split(node, beginIndex)
    tree3 = split(tree2, endIndex - beginIndex).second
    return merge(tree1, tree3)

Операция [math]\mathrm{insert}[/math] вставляет данную строку [math]s[/math] в исходную, начиная с позиции [math]insertIndex[/math].

Псевдокод

Node insert(Node node, int insertIndex, string s):
    (tree1, tree3) = split(node, insertIndex)
    tree2 = Node(s)
    return merge(merge(tree1, tree2), tree3)

Время работы

Так как данные операции используют только [math]\mathrm{split}[/math] и [math]\mathrm{merge}[/math], то асимптотика времени их работы — [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Балансировка

Для того, чтобы дерево не превращалось в бамбук:

Предлагается хранить его как АВЛ-дерево и делать соответствующие балансировки. Тогда, так как высота АВЛ-дерева [math]h = \log{n}[/math], то асимптотика операций [math] \mathrm{get, split, delete, insert, merge}[/math] будет равна [math]O(\log{n})[/math], где [math]n[/math] — количество сконкатенированных строк.

Оптимизации

• Для уменьшения объема памяти, занимаемой деревом, и уменьшения высоты дерево, предлагается при конкатенации с маленькой строкой делать конкатенацию классическим способом.

• Кэширование. Так как зачастую нужен последовательный доступ к индексам (например [math]i[/math] и [math]i + 1[/math]), то можно запоминать лист (а также его границы), в который мы пришли после очередного запроса [math]\mathrm{get}[/math], и на следующем запросе сначала искать в сохраненном листе. Также если хранить у каждой вершины ее предка, то последовательный доступ к символам будет выполняться за [math]O(m)[/math], где [math]m[/math] — количество символов.

См. также

• АВЛ-дерево
• Splay-дерево
• Декартово дерево по неявному ключу

Источники информации

• Wikipedia — Rope
• Ropes — быстрые строки
• Ropes: an Alternative to Strings