Модуль непрерывности функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Отмена правки 4898 участника Komarov (обсуждение))
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 27 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Функция <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:
+
[[Отображения|Функция]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:
# <tex>\omega (0) = 0</tex>
+
# <tex>\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex>
# <tex>\omega (t_1) < \omega (t_2)</tex> для <tex>t_1, t_2: 0 \le t_1 < t_2</tex>
+
# <tex>\omega (t)</tex> неубывает
# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex>
+
# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex> (полуаддитивность)
 
}}
 
}}
  
 
== Свойства модулей непрерывности ==
 
== Свойства модулей непрерывности ==
  
1) <tex>\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \omega (nt) \le n \omega (t)</tex><br />
+
{{Утверждение
Доказательство ведётся по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально.<br />
+
|statement=
Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \omega (t)</tex>, что и требовалось доказать.
+
<tex>\forall n \in \mathbb{N}</tex>: <tex> \omega (nt) \le n \omega (t)</tex>
 +
|about=
 +
свойство №1
 +
|proof=
 +
Доказательство ведется по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) \cdot t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \cdot \omega (t)</tex>, ч. т. д.
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex>\forall \lambda > 0</tex>: <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>
 +
|about=
 +
свойство №2
 +
|proof=
 +
Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex>.<br />
 +
<tex>\omega(\lambda t) \le \omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t) \le (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> не возрастает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.
 +
|about=
 +
свойство №3
 +
|proof=
 +
Видно, что требуется доказать только полуаддитивность.
 +
Т. к. <tex>t_1, t_2 < t_1 + t_2</tex>, то <tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.
 +
Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.
 +
|about=
 +
свойство №4
 +
|proof=
 +
Докажем, опираясь на свойство 3. Покажем, что <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> убывает.<br />
 +
<tex>0 < t_1 < t_2</tex>, <tex>t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2</tex> - выпуклая комбинация 0 и <tex>t_2</tex>.<br />
 +
Из выпуклости следует: <tex>\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)</tex>. Но <tex>\omega(0) = 0</tex>, следовательно, <tex>\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, то есть, функция <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> является убывающей.
 +
}}
 +
 
 +
== Примеры ==
 +
 
 +
По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, <tex>\omega (t) = \frac{t}{t + 1}</tex> является модулем непрерывности.<br />
 +
<tex>\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} > 0</tex> - функция возрастает.<br />
 +
<tex>\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} < 0</tex> - функция является выпуклой вверх.
 +
 
 +
Из этого факта следует неравенство <tex>\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}</tex>
 +
 
 +
== Теорема о выпуклом модуле непрерывности ==
 +
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
 +
 
 +
Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F_\alpha(t), \alpha \in A</tex>. Тогда <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)</tex> &mdash; также выпуклая функция.
 +
|proof=
 +
Требуется показать, что:
 +
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \qquad \beta \in [0; 1]</tex><br />
 +
Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha \in A</tex> верно:
 +
:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />
 +
Но по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,
 +
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />
 +
Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества <tex>F</tex>, получаем искомое неравенство.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
о выпуклом модуле непрерывности
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
 +
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>
 +
|proof=
 +
По свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> и <tex>t \ge 0</tex>. Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut</tex>.
 +
 
 +
Перепишем равенство <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t > 0}\,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)</tex>.
 +
Рассмотрим семейство функций <tex> \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t > 0</tex>. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда <tex>\omega^*(u)</tex> выпукла вверх по доказанному выше факту.
 +
 
 +
Докажем теперь, что <tex>\omega^*(u)</tex> - модуль непрерывности. Действительно,
 +
#<tex>\omega^*</tex> выпукла вверх
 +
#<tex>\omega^*(0) = \inf\limits_{t > 0}\,{\omega(t)} = 0</tex> (т. к. <tex>\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0</tex> )
 +
#<tex>\omega^*</tex> неубывает. В самом деле, <tex>u_1 \le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)</tex>. Переходя к нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \le \omega^*(u_2)</tex>.
 +
 
 +
По свойству №2 модулей непрерывности <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение функции <tex>\omega^*(u)</tex>, получим требуемые в условии теоремы неравенства.
 +
 
 +
Итак, построенная нами функция <tex>\omega^*(t)</tex> является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.
 +
}}
 +
 
 +
== Модуль непрерывности функции ==
 +
Пусть <tex>f</tex> - функция, непрерывная на <tex>[a; b]</tex>. Пусть <tex>h \ge 0</tex>. Положим
 +
:<tex>\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|</tex>.
 +
 
 +
Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции <tex>f</tex>:
 +
:<tex>\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \qquad \forall h \ge 0</tex>.
 +
 
 +
Опеределим <tex>\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)}\,\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству).
  
2) <tex>\forall \lambda > 0</tex> <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)</tex><br />
+
Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
  
Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex>
+
По доказанной выше теореме получаем следующее следствие:
 +
:<tex>\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda)\cdot\omega(f, h) \qquad \forall\lambda, h \ge 0</tex>, а также:
 +
:<tex>\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)</tex>
  
<tex>\omega(\lambda t)\quad\le\quad\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\quad\le\quad(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\quad\le\quad(1 + \lambda) \omega (t)</tex>
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:30, 4 сентября 2022

Определение:
Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если:
  1. [math]\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)[/math]
  2. [math]\omega (t)[/math] неубывает
  3. [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math] (полуаддитивность)


Свойства модулей непрерывности

Утверждение (свойство №1):
[math]\forall n \in \mathbb{N}[/math]: [math] \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]
[math]\triangleright[/math]
Доказательство ведется по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) \cdot t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \cdot \omega (t)[/math], ч. т. д.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (свойство №2):
[math]\forall \lambda \gt 0[/math]: [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Доказательство: [math]\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1[/math].

[math]\omega(\lambda t) \le \omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t) \le (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (свойство №3):
Пусть для некоторой функции [math]\omega[/math] выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция [math]\frac{\omega(t)}t[/math] не возрастает. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
[math]\triangleright[/math]

Видно, что требуется доказать только полуаддитивность. Т. к. [math]t_1, t_2 \lt t_1 + t_2[/math], то [math]\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}[/math].

Тогда [math]\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (свойство №4):
Пусть [math]\omega[/math] удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
[math]\triangleright[/math]

Докажем, опираясь на свойство 3. Покажем, что [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] убывает.
[math]0 \lt t_1 \lt t_2[/math], [math]t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2[/math] - выпуклая комбинация 0 и [math]t_2[/math].

Из выпуклости следует: [math]\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)[/math]. Но [math]\omega(0) = 0[/math], следовательно, [math]\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}[/math], то есть, функция [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] является убывающей.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, [math]\omega (t) = \frac{t}{t + 1}[/math] является модулем непрерывности.
[math]\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} \gt 0[/math] - функция возрастает.
[math]\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} \lt 0[/math] - функция является выпуклой вверх.

Из этого факта следует неравенство [math]\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}[/math]

Теорема о выпуклом модуле непрерывности

Класс модулей непрерывности обозначим [math]\Omega[/math]. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим [math]\Omega^*[/math].

Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:

Утверждение:
Пусть имеется семейство выпуклых функций [math]F_\alpha(t), \alpha \in A[/math]. Тогда [math]f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)[/math] — также выпуклая функция.
[math]\triangleright[/math]

Требуется показать, что:

[math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \qquad \beta \in [0; 1][/math]

Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого [math]\alpha \in A[/math] верно:

[math]\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)[/math].

Но по определению [math]f(t) \le f_{\alpha}(t)[/math], следовательно,

[math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)[/math].
Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества [math]F[/math], получаем искомое неравенство.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (о выпуклом модуле непрерывности):
Пусть [math]\omega \in \Omega[/math]. Тогда существует [math]\omega^* \in \Omega^*[/math] такая, что [math]\forall \lambda, t \ge 0[/math]
[math]\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По свойству 2 имеем [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)[/math] для всех [math]\lambda[/math] и [math]t \ge 0[/math]. Обозначим [math]u = \lambda t[/math], тогда [math]\lambda = \frac ut[/math].

Перепишем равенство [math]\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)[/math]. Определим теперь функцию [math]\omega^*(u) = \inf\limits_{t \gt 0}\,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)[/math]. Рассмотрим семейство функций [math] \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t \gt 0[/math]. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда [math]\omega^*(u)[/math] выпукла вверх по доказанному выше факту.

Докажем теперь, что [math]\omega^*(u)[/math] - модуль непрерывности. Действительно,

  1. [math]\omega^*[/math] выпукла вверх
  2. [math]\omega^*(0) = \inf\limits_{t \gt 0}\,{\omega(t)} = 0[/math] (т. к. [math]\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0[/math] )
  3. [math]\omega^*[/math] неубывает. В самом деле, [math]u_1 \le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)[/math]. Переходя к нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем [math]u_1 \le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \le \omega^*(u_2)[/math].

По свойству №2 модулей непрерывности [math]\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)[/math]. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение функции [math]\omega^*(u)[/math], получим требуемые в условии теоремы неравенства.

Итак, построенная нами функция [math]\omega^*(t)[/math] является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.
[math]\triangleleft[/math]

Модуль непрерывности функции

Пусть [math]f[/math] - функция, непрерывная на [math][a; b][/math]. Пусть [math]h \ge 0[/math]. Положим

[math]\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|[/math].

Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции [math]f[/math].

Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции [math]f[/math]:

[math]\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \qquad \forall h \ge 0[/math].

Опеределим [math]\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)}\,\omega^*(h)[/math], где [math]\Omega^*(f)[/math] - класс выпуклых мажорант функции [math]f[/math] (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству).

Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции [math]f[/math].

По доказанной выше теореме получаем следующее следствие:

[math]\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda)\cdot\omega(f, h) \qquad \forall\lambda, h \ge 0[/math], а также:
[math]\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)[/math]