Линейные системы

Опеределение

Определение:

совокупность [math]F_k(x, y_1(x), \dots, y_n(x), y_1'(x), \dots, y_n'(x)) = 0 \: k = 1..m \: (1)[/math] называется системой ЛОДУ первого порядка.

Определение:

совокупность [math]y_1(x), \dots, y_n(x) \in C'((a,b))[/math] называется решением системы (1) [math]\Leftrightarrow[/math] эти функции обращают систему (1) в тождество.

Определение:

[math]\frac{dy_k}{dx} = f_k(x, y_1, \dots, y_n), \: k = 1..n[/math] — называется нормальной системой (системой в нормальной форме) ЛОДУ.

Систему можно переписать в виде:
[math]\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})[/math], где [math]y = \begin{pmatrix} y_1(x)\\ \dots\\ y_n(x) \end{pmatrix},\:\: \frac{d\bar{y}}{dx} = \begin{pmatrix} \frac{dy_1}{dx}\\ \dots\\ \frac{dy_n}{dx} \end{pmatrix}, \:\: f(x, \bar{y}) = \begin{pmatrix} f(x, y_1 , \dots, y_n)\\ \dots\\ f(x, y_1, \dots, y_n) \end{pmatrix}[/math]

Задача Коши

Требуется найти решение уравнения вида [math]\frac{d\bar{y}}{dx} = f(x, \bar{y})[/math], с начальными условиями: [math]\bar{y}(x_0) = \bar{y^0} = \begin{pmatrix} y^0_1 \\ \dots \\ y^0_n \end{pmatrix}[/math]

Теорема (Пикар):

[math] \frac{d\bar{y}}{dx} = \bar{f}(x, \bar{y}) \:(6) [/math], если [math]\left\{\begin{matrix} \bar{f}(x, \bar{y}) \in C(V_r(x_0,\bar{y^0})) \\ \frac{\partial \bar{f}(x, \bar{y})}{\partial \bar{y}} \in C(V_r(x_0,\bar{y^0})) \end{matrix}\right. [/math], то существует единственное решение задачи Коши в шаре V

Определение:

общим решением системы (6) называется совокупность [math]y_k(x) = \phi_k(x, C_1, \dots, C_n) \: (7) \in C(D)[/math] удовлетворяющая следующим свойствам: 1) система (7) разрешима относительно констант Cn: [math]C_k=\psi_k(x, y_1, \dots, y_k) \: (8)[/math] 2) совокупность (7) — есть решение (6) при любом наборе констант [math]C_1, \dots, C_n[/math], определенных в (8), если [math](x,\bar{y}) \in D[/math].

Связь с уравнениями высшего порядка

рассмотрим [math]y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})[/math] пусть [math]y = y_1, y' = y_2, \dots, y^{(n - 1)} = y_n[/math],
тогда получаем систему:
[math] \left\{\begin{matrix} y_1' = y_2 \\ y_2' = y_3 \\ \dots \\ y_{n - 1}' = y_n \\ y_n' = f(x, y_1, \dots, y_n) \end{matrix}\right. [/math]