Приближение непрерывной функции полиномами на отрезке — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема о существовании искомого полинома)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 13 промежуточных версий 5 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
== Постановка задачи ==
 
== Постановка задачи ==
  
В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный зарактер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью инерполяционного полинома:
+
В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный характер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью интерполяционного полинома:
 
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
 
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>
+
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) </tex><tex dpi = "160">+ \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!}</tex><tex> \cdot \omega_n(x)</tex>
  
 
Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.
 
Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.
  
Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?
+
Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b]: \ |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?
  
 
Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.
 
Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.
Строка 17: Строка 17:
 
:<tex>|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|</tex>.
 
:<tex>|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|</tex>.
  
Но полином непрерывен, а, значит, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| < \varepsilon</tex>.
+
Но полином непрерывен, а значит, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| < \varepsilon</tex>.
  
 
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| < 3 \varepsilon</tex>, то есть, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x</tex>.
 
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| < 3 \varepsilon</tex>, то есть, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x</tex>.
Строка 24: Строка 24:
  
 
== Теорема о существовании искомого полинома ==
 
== Теорема о существовании искомого полинома ==
 +
 +
Докажем сначала теорему Бернштейна, рассматривающую только функции, непрерывные на <tex>[0; 1]</tex>.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=
+
|author=
Вейерштрасс
+
Бернштейн
 
|statement=
 
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a; b] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
+
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [0; 1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотри функцию <tex>f(x)</tex> - непрерывную на <tex>[0; 1]</tex>. Определим полиномы:
+
 
 +
Рассмотрим функцию <tex>f(x)</tex>, непрерывную на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Определим полиномы:
 
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
 
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
  
Заметим, что <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n}  C_n^k x^k (1 - x)^{n - k} = \left[ x + (1 - x) \right  ] ^ n = 1, \qquad \forall x \in [0; 1]</tex>.
+
Заметим, что <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n}  C_n^k x^k (1 - x)^{n - k} = \left[ x + (1 - x) \right  ] ^ n = 1, \qquad \forall x \in \mathbb{R}</tex>.
  
 
Далее, для сокращения записи положим <tex>P_{n, k}(x) = C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>.
 
Далее, для сокращения записи положим <tex>P_{n, k}(x) = C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>.
 
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x) P_{n, k}(x), \qquad f(x) - B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left(f(x) - f \left( \frac k n \right ) \right ) P_{n, k}(x)</tex>.
 
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x) P_{n, k}(x), \qquad f(x) - B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left(f(x) - f \left( \frac k n \right ) \right ) P_{n, k}(x)</tex>.
:<tex>\forall x', x'' \in [0; 1] \Rightarrow |f(x'')-f(x')| \le \omega(f, |x''-x'|)</tex>
+
:<tex>\forall x', x'' \in [0; 1] \Rightarrow |f(x'')-f(x')| \le \omega(f, |x''-x'|)</tex>, где <tex>\omega(f, x)</tex> - [[модуль непрерывности функции]] <tex>f</tex>.
 
:<tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le \sum\limits_{k = 0}^{n} \left |f(x) - f\left ( \frac k n \right ) \right | P_{n, k}(x) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|)</tex>.
 
:<tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le \sum\limits_{k = 0}^{n} \left |f(x) - f\left ( \frac k n \right ) \right | P_{n, k}(x) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|)</tex>.
  
 +
Выше мы доказали, что <tex>\sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) = 1</tex>, поэтому к последней сумме применима теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности:
 +
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega^*(f, \left|x - \frac kn\right|) \le</tex> (по [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена|неравенству Йенсена]]) <tex>\omega^*\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right) \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>
 +
 +
Итак, <tex>|f(x) - B_n(f, x)|    \le      2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>. Оценим сумму в правой части сверху, тогда при замене суммы оценкой правая часть только возрастет(в силу возрастания модуля непрерывности).
 +
По [[Неравенства_Гёльдера,_Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]
 +
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| \sqrt{P_{n, k}(x)}\cdot \sqrt{P_{n, k}(x)}</tex> <tex>\le \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)} \cdot \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)} = \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}</tex>
 +
Вставим полученное неравенство в оценку: <tex>|f(x) - B_n(f, x)|  \le  2\omega \left( f, \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}\,\right)</tex> (все эти преобразования были нужны, потому что суммы с модулем трудно сворачиваются).
 +
Покажем теперь с помощью метода производящих функций, что <tex dpi="125">\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x) = \frac{x(1-x)}n</tex>.
 +
 +
Для этого рассмотрим полином <tex>\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n a_k t^k</tex>, где <tex>{a_k}</tex> - произвольная конечная числовая последовательность (такой полином называют производящей функцией). Заметим, что
 +
:<tex>\varphi'(t) = \sum\limits_{k=1}^n k a_k t^{k-1}</tex>
 +
 +
:<tex>\varphi''(t) = \sum\limits_{k=2}^n k(k-1) a_k t^{k-2}</tex>
 +
и поэтому
 +
:<tex>\varphi(1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k</tex>
 +
 +
:<tex>\varphi'(1) = \sum\limits_{k=0}^n k a_k</tex>
 +
 +
:<tex>\varphi''(1) = \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) a_k</tex> (в двух последних суммах слагаемые при <tex>k</tex>, равных <tex>0</tex> или <tex>1</tex>, обращаются в <tex>0</tex>, поэтому суммы определены корректно).
 +
 +
Положим теперь <tex>a_k = P_{n,k}(x)</tex> и рассмотрим производящую функцию
 +
:<tex>\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) t^k = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k (xt)^k (1-x)^{n-k} = (xt + 1 - x)^n</tex>
 +
 +
С целью упрощения дальнейших выкладок обозначим <tex>p = x, \, q = 1 - x, \, p + q = 1</tex>.
 +
:<tex>\varphi(t) = (pt + q)^n</tex>
 +
:<tex>\varphi'(t) = np(pt + q)^{n-1}</tex>
 +
:<tex>\varphi''(t) = n(n-1)p^2(pt + q)^{n-2}</tex>
 +
Т. к. <tex>p + q = 1</tex>, то
 +
:<tex>\varphi(1) = 1, \varphi'(1) = np, \, \varphi''(1) = n(n-1)p^2</tex>
 +
 +
Вернемся к свертыванию суммы:
 +
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} =</tex>(раскрывая квадрат и подставляя <tex>p</tex> и <tex>q</tex>) <tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex>
 +
Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что <tex>k^2 = k(k-1) + k</tex>.
 +
:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.
 +
 +
{{Лемма
 +
|statement=<tex>|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})</tex>
 +
|proof=
 +
Так как <tex>\omega(t)</tex> возрастает и <tex>\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}} \leq \sqrt{\frac1{4n}} = \frac1{2\sqrt{n}}</tex>(из <tex>x(1 - x) \leq \frac14 </tex>), можно в неравенстве <tex>|f(x) - B_n(x)| \leq 2\omega(f, \sqrt{\frac{x(1 -x)}{n}})</tex> заменить <tex>\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}}</tex> на <tex>\frac1{2\sqrt{n}}</tex>, получив требуемое.
 
}}
 
}}
 +
 +
По свойству модуля непрерывности
 +
:<tex>\lim\limits_{n \to +0} \omega(f, h) = 0</tex>, т. е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta : 0 < h \le \delta \Rightarrow \omega(f, h) \le \varepsilon</tex>.
 +
Т. к. <tex>\lim\limits_{n \to + \infty}\frac 1{2 \sqrt n} = 0</tex>, то <tex>\exists N \in \mathbb N: \frac 1{2 \sqrt N} \le \delta</tex>. Отсюда по лемме <tex>|f(x) - B_N(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt N}) \le 2 \varepsilon</tex> (по выбору <tex>N</tex> и <tex>\varepsilon</tex>) и теорема Бернштейна доказана.
 +
 +
}}
 +
 +
Теперь докажем для произвольного отрезка <tex>[a; b]</tex>.
 +
 +
{{Теорема
 +
|id=
 +
weirstrasscont
 +
|author=
 +
Вейерштрасс
 +
|statement=
 +
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
 +
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)|  \le \varepsilon</tex>
 +
|proof=
 +
Теорема Вейерштрасса напрямую следует из теоремы Бернштейна. Отрезок <tex>[0; 1]</tex> можно перевести в отрезок <tex>[a; b]</tex>
 +
линейным преобразованием вида <tex>y = (b - a)x + a</tex>. Также существует обратное преобразование <tex dpi=130>x = \frac{y - a}{b - a}</tex>. Оба этих преобразования линейны.
 +
 +
Рассмотрим вспомогательную функцию <tex>g(t) = f((b - a)t + a),\ t \in [0; 1]</tex>.
 +
 +
По только что доказанной теореме Бернштейна, <tex>|g(t) - B_n(t)| \leq \varepsilon </tex>.
 +
 +
Так как <tex dpi=130>t = \frac{x - a}{b - a}</tex>, то, подставляя это, получаем <tex dpi=130>|f(x) - B_n(g, \frac{x - a}{a - b})| \leq \varepsilon</tex>. Значит, можно взять <tex dpi=130>P(x) =  B_n(g, \frac{x - a}{b - a})</tex>.
 +
}}
 +
 +
== Равномерная сходимость ==
 +
 +
Всё это переводится на язык равномерной сходимости или так называемой Чебышёвской метрики.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} класс функций, непрерывных на <tex>[a; b]</tex>.
 +
}}
 +
 +
По арифметике непрерывности получаем, что <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} линейное множество: если <tex>f, g \in \mathcal{C}[a, b]</tex>, то тогда <tex>\forall \alpha, \beta\quad \alpha f(x) + \beta g(x) \in \mathcal{C}[a, b]</tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Чебышёвская(равномерная) норма функции <tex>\| f \| = \max\limits_{[a; b]} |f(x)|</tex>
 +
}}
 +
 +
Эта величина удовлетворяет трем законам:
 +
* <tex>\| f \| \ge 0</tex> и <tex>\| f \| = 0 \iff f = 0</tex>
 +
* <tex>\| \alpha f \| = |\alpha| \| f \|</tex>
 +
* <tex>\| f + g \| \le \| f \| + \| g \|</tex>
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex> в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0</tex>.
 +
Или, по определению предела,
 +
<tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0 \iff \forall \varepsilon \ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in [a; b]:\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>.
 +
Если правую часть воспринимать независимо от нормы, то говорят, что <tex>f_n \stackrel{[a; b]}{\rightrightarrows} f</tex> (<tex>f_n</tex> ''равномерно сходится'' к <tex>f</tex>).
 +
}}
 +
 +
С этой точки зрения, теорема Вейерштрасса означает следующее. Обозначим за <tex>\mathcal{P}</tex> множество всех полиномов.
 +
Тогда <tex>\mathcal{P}</tex> {{---}} линейное множество в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>.
 +
По теореме Вейерштрасса получаем <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall f \in \mathcal{C}[a; b]\ \exists T \in \mathcal{P}: \ \| f - T \| < \varepsilon</tex>. Поэтому, по аналогии с рациональными числами, говорят, что <tex>\mathcal{P}</tex> ''всюду плотно'' расположено в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Постановка задачи

В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный характер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью интерполяционного полинома:

[math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)[/math]
[math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) [/math][math]+ \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!}[/math][math] \cdot \omega_n(x)[/math]

Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.

Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a; b][/math]. Существует ли [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] некоторый полином [math]P[/math] (неважно, какой степени) такой, что [math]\forall x \in [a; b]: \ |f(x) - P(x)| \lt \varepsilon[/math]?

Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.

Заметим, что непрерывность функции является необходимым условием. Действительно, пусть [math]f[/math] такова, что [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] полином найдётся. Покажем, что [math]f[/math] необходимо непрерывна:

[math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] есть полином [math]P[/math], "обслуживающий" [math]\varepsilon[/math] на всём отрезке.
[math]|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|[/math].

Но полином непрерывен, а значит, [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0: |\Delta x| \lt \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| \lt \varepsilon[/math].

Тогда [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0: |\Delta x| \lt \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| \lt 3 \varepsilon[/math], то есть, [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x[/math].

Положительный ответ на поставленный вопрос впервые был дан Вейерштрассом.

Теорема о существовании искомого полинома

Докажем сначала теорему Бернштейна, рассматривающую только функции, непрерывные на [math][0; 1][/math].

Теорема (Бернштейн):
Пусть функция [math]f[/math] - непрерывна на [math][0; 1][/math]. Тогда [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists P(x)[/math] - полином, такой, что [math]\forall x \in [0; 1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| \lt \varepsilon[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f(x)[/math], непрерывную на отрезке [math][a; b][/math]. Определим полиномы:

[math]B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}[/math], которые называются полиномами Бернштейна функции [math]f[/math].

Заметим, что [math]\sum\limits_{k = 0}^{n} C_n^k x^k (1 - x)^{n - k} = \left[ x + (1 - x) \right ] ^ n = 1, \qquad \forall x \in \mathbb{R}[/math].

Далее, для сокращения записи положим [math]P_{n, k}(x) = C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}[/math].

[math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x) P_{n, k}(x), \qquad f(x) - B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left(f(x) - f \left( \frac k n \right ) \right ) P_{n, k}(x)[/math].
[math]\forall x', x'' \in [0; 1] \Rightarrow |f(x'')-f(x')| \le \omega(f, |x''-x'|)[/math], где [math]\omega(f, x)[/math] - модуль непрерывности функции [math]f[/math].
[math]|f(x) - B_n(f, x)| \le \sum\limits_{k = 0}^{n} \left |f(x) - f\left ( \frac k n \right ) \right | P_{n, k}(x) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|)[/math].

Выше мы доказали, что [math]\sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) = 1[/math], поэтому к последней сумме применима теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности:

[math]\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega^*(f, \left|x - \frac kn\right|) \le[/math] (по неравенству Йенсена) [math]\omega^*\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right) \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)[/math]

Итак, [math]|f(x) - B_n(f, x)| \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)[/math]. Оценим сумму в правой части сверху, тогда при замене суммы оценкой правая часть только возрастет(в силу возрастания модуля непрерывности). По неравенству Коши для сумм

[math]\sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| \sqrt{P_{n, k}(x)}\cdot \sqrt{P_{n, k}(x)}[/math] [math]\le \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)} \cdot \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)} = \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}[/math]

Вставим полученное неравенство в оценку: [math]|f(x) - B_n(f, x)| \le 2\omega \left( f, \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}\,\right)[/math] (все эти преобразования были нужны, потому что суммы с модулем трудно сворачиваются). Покажем теперь с помощью метода производящих функций, что [math]\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x) = \frac{x(1-x)}n[/math].

Для этого рассмотрим полином [math]\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n a_k t^k[/math], где [math]{a_k}[/math] - произвольная конечная числовая последовательность (такой полином называют производящей функцией). Заметим, что

[math]\varphi'(t) = \sum\limits_{k=1}^n k a_k t^{k-1}[/math]
[math]\varphi''(t) = \sum\limits_{k=2}^n k(k-1) a_k t^{k-2}[/math]

и поэтому

[math]\varphi(1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k[/math]
[math]\varphi'(1) = \sum\limits_{k=0}^n k a_k[/math]
[math]\varphi''(1) = \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) a_k[/math] (в двух последних суммах слагаемые при [math]k[/math], равных [math]0[/math] или [math]1[/math], обращаются в [math]0[/math], поэтому суммы определены корректно).

Положим теперь [math]a_k = P_{n,k}(x)[/math] и рассмотрим производящую функцию

[math]\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) t^k = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k (xt)^k (1-x)^{n-k} = (xt + 1 - x)^n[/math]

С целью упрощения дальнейших выкладок обозначим [math]p = x, \, q = 1 - x, \, p + q = 1[/math].

[math]\varphi(t) = (pt + q)^n[/math]
[math]\varphi'(t) = np(pt + q)^{n-1}[/math]
[math]\varphi''(t) = n(n-1)p^2(pt + q)^{n-2}[/math]

Т. к. [math]p + q = 1[/math], то

[math]\varphi(1) = 1, \varphi'(1) = np, \, \varphi''(1) = n(n-1)p^2[/math]

Вернемся к свертыванию суммы:

[math]\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} =[/math](раскрывая квадрат и подставляя [math]p[/math] и [math]q[/math]) [math]\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)[/math]

Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что [math]k^2 = k(k-1) + k[/math].

[math]\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)[/math] [math] = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = [/math] [math]\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n[/math], ч. т. д.
Лемма:
[math]|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Так как [math]\omega(t)[/math] возрастает и [math]\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}} \leq \sqrt{\frac1{4n}} = \frac1{2\sqrt{n}}[/math](из [math]x(1 - x) \leq \frac14 [/math]), можно в неравенстве [math]|f(x) - B_n(x)| \leq 2\omega(f, \sqrt{\frac{x(1 -x)}{n}})[/math] заменить [math]\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}}[/math] на [math]\frac1{2\sqrt{n}}[/math], получив требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

По свойству модуля непрерывности

[math]\lim\limits_{n \to +0} \omega(f, h) = 0[/math], т. е. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta : 0 \lt h \le \delta \Rightarrow \omega(f, h) \le \varepsilon[/math].
Т. к. [math]\lim\limits_{n \to + \infty}\frac 1{2 \sqrt n} = 0[/math], то [math]\exists N \in \mathbb N: \frac 1{2 \sqrt N} \le \delta[/math]. Отсюда по лемме [math]|f(x) - B_N(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt N}) \le 2 \varepsilon[/math] (по выбору [math]N[/math] и [math]\varepsilon[/math]) и теорема Бернштейна доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Теперь докажем для произвольного отрезка [math][a; b][/math].

Теорема (Вейерштрасс):
Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a; b][/math]. Тогда [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Теорема Вейерштрасса напрямую следует из теоремы Бернштейна. Отрезок [math][0; 1][/math] можно перевести в отрезок [math][a; b][/math] линейным преобразованием вида [math]y = (b - a)x + a[/math]. Также существует обратное преобразование [math]x = \frac{y - a}{b - a}[/math]. Оба этих преобразования линейны.

Рассмотрим вспомогательную функцию [math]g(t) = f((b - a)t + a),\ t \in [0; 1][/math].

По только что доказанной теореме Бернштейна, [math]|g(t) - B_n(t)| \leq \varepsilon [/math].

Так как [math]t = \frac{x - a}{b - a}[/math], то, подставляя это, получаем [math]|f(x) - B_n(g, \frac{x - a}{a - b})| \leq \varepsilon[/math]. Значит, можно взять [math]P(x) = B_n(g, \frac{x - a}{b - a})[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Равномерная сходимость

Всё это переводится на язык равномерной сходимости или так называемой Чебышёвской метрики.


Определение:
[math]\mathcal{C}[a, b][/math] — класс функций, непрерывных на [math][a; b][/math].


По арифметике непрерывности получаем, что [math]\mathcal{C}[a, b][/math] — линейное множество: если [math]f, g \in \mathcal{C}[a, b][/math], то тогда [math]\forall \alpha, \beta\quad \alpha f(x) + \beta g(x) \in \mathcal{C}[a, b][/math].


Определение:
Чебышёвская(равномерная) норма функции [math]\| f \| = \max\limits_{[a; b]} |f(x)|[/math]


Эта величина удовлетворяет трем законам:

  • [math]\| f \| \ge 0[/math] и [math]\| f \| = 0 \iff f = 0[/math]
  • [math]\| \alpha f \| = |\alpha| \| f \|[/math]
  • [math]\| f + g \| \le \| f \| + \| g \|[/math]


Определение:
[math]f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n[/math] в [math]\mathcal{C}[a, b][/math], если [math]\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0[/math].

Или, по определению предела, [math]\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0 \iff \forall \varepsilon \ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in [a; b]:\quad |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math].

Если правую часть воспринимать независимо от нормы, то говорят, что [math]f_n \stackrel{[a; b]}{\rightrightarrows} f[/math] ([math]f_n[/math] равномерно сходится к [math]f[/math]).


С этой точки зрения, теорема Вейерштрасса означает следующее. Обозначим за [math]\mathcal{P}[/math] множество всех полиномов. Тогда [math]\mathcal{P}[/math] — линейное множество в [math]\mathcal{C}[a, b][/math]. По теореме Вейерштрасса получаем [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \forall f \in \mathcal{C}[a; b]\ \exists T \in \mathcal{P}: \ \| f - T \| \lt \varepsilon[/math]. Поэтому, по аналогии с рациональными числами, говорят, что [math]\mathcal{P}[/math] всюду плотно расположено в [math]\mathcal{C}[a, b][/math]