Предел последовательности

Лекция от 20 сентября.

Последовательность

Определение:

Последовательность — функция натурального аргумента: [math] f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R [/math] [math] f(n) [/math] — значения [math] f [/math], [math] f(n) = a_n [/math] [math] f(N) [/math] — множество значений [math] f [/math]

[math] c_n = a_n + b_n [/math] — сумма последовательностей.

[math] c_n = a_n \cdot b_n [/math] — произведение последовательностей.

В общем, арифметические действия с последовательностями совершаются над элементами с одинаковыми номерами.

Определение:

Последовательность [math] a_n = f(n) [/math] ограничена сверху(снизу), если [math] f(N) [/math] ограничено сверху(снизу).

Иначе это можно записать так:

[math] \exists d : \forall n : d \le a_n \Rightarrow a_n [/math] ограниченa снизу.

[math] \exists d : \forall n : d \ge a_n \Rightarrow a_n [/math] ограниченa сверху.

Определение:

Последовательность [math] a_n [/math] возрастает (пишут: [math] a_n \!\! \uparrow [/math]), если: [math] \forall n : a_n \le a_{n+1} [/math]. Аналогично, если [math] \forall n : a_n \ge a_{n+1} [/math], то говорят, что последовательность [math] a_n [/math] убывает ([math] a_n \!\! \downarrow [/math]).

Предел последовательности

Определение:

Число [math] a \in \mathbb R [/math] называется пределом последовательности [math] a_n [/math], если: [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math] Записывают: [math] a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n [/math]

Определение:

Если последовательность имеет предел, то она сходится: [math] a_n \rightarrow a [/math].

В определении предела последовательности [math] \forall n \gt n_0: |a_n - a| \lt \varepsilon [/math], строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.

Также в определении предела, при выборе [math] \varepsilon [/math] разрешено ставить ограничение на [math] \varepsilon [/math] сверху:

[math] 0 \lt \varepsilon \lt \varepsilon_0 [/math].

Однако, ограничение [math] 0 \lt \varepsilon [/math] обязательно.

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \iff \forall \varepsilon \gt 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0 : a_n \lt -\varepsilon [/math]

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \iff \forall \varepsilon \gt 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0 : a_n \gt \varepsilon [/math]

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \iff \forall \varepsilon \gt 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n \gt n_0 : |a_n| \gt \varepsilon [/math]

Ряд простейших свойств предела

Утверждение:

Если [math] \{ a_n \} [/math] сходится, то [math] \{ a_n \} [/math] — ограничена.

[math]\triangleright[/math]

Если взять [math] \varepsilon = 1 [/math], то: [math] \exists N \in \mathbb N : \forall n \gt N \Rightarrow a_n \in (a - 1, a + 1) [/math] Вне интервала [math] (a - 1, a + 1) [/math] лежат не более, чем точки [math] a_1, a_2, ..., a_N [/math], а таких — конечное число.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math] a_n \rightarrow a, a_n \rightarrow b \Rightarrow a = b [/math] — единственность предела последовательности.

[math]\triangleright[/math]

[math] |b - a| \le |a_n - a| + |a_n - b| \Rightarrow \forall \varepsilon \gt 0 : |b - a| \lt \varepsilon \Rightarrow |b - a| = 0 \Rightarrow a = b [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math] a_n \le b_n \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n [/math] — предельный переход в неравенстве.

[math]\triangleright[/math]

Предположим обратное: [math] \lim a_n = a, \lim b_n = b, a \gt b [/math] Положим [math] \varepsilon = \frac{a - b}{3} [/math]: [math] \exists N_1: \forall n \gt N_1: a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) [/math] [math] \exists N_2: \forall n \gt N_2: b_n \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon) [/math] Отрезки [math] (a - \varepsilon, a + \varepsilon) [/math] и [math] (b - \varepsilon, b + \varepsilon) [/math] не пересекаются, и первый лежит, по предположению, правее второго на числовой оси. Но [math] \forall n \gt (N_1 + N_2) : a_n \gt b_n [/math], получили противоречие [math] \Rightarrow \lim a_n \le \lim b_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если для последовательностей [math] a_n, b_n, c_n [/math] выполняется: [math] a_n \le b_n \le c_n [/math] и [math] a_n \rightarrow d, c_n \rightarrow d [/math], то: [math] b_n \rightarrow d [/math] (принцип сжатой переменной)

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим отрезок [math] [a_n, c_n] [/math] Зафиксировав в определении предела для [math] a_n [/math] и [math] c_n [/math] определенный [math] \varepsilon \gt 0 [/math], получаем, что для какого-то [math] N: \forall n \gt N: a_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon), c_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) \Rightarrow [a_n, c_n] \subset (d - \varepsilon, d + \varepsilon) [/math] Но [math] a_n \le b_n \le c_n \Rightarrow b_n \in [a_n, c_n] \Rightarrow b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) [/math]. В силу того, что ранее мы могли зафиксировать любой [math] \varepsilon \gt 0 [/math], получаем, что: [math] \forall \varepsilon : \exists N : \forall n \gt N : b_n \in (d - \varepsilon, d + \varepsilon) \Rightarrow \lim b_n = d [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Использовать при доказательстве этого принципа предыдущее утверждение, записав двойное неравенство, нельзя, так как в условии принципа сжатой переменной не гарантируется существование [math]\lim b_n[/math].

Примеры

Определение:

Если [math] \lim a_n = 0 [/math], то [math] a_n [/math] называют бесконечно малой (б.м.) величиной, и обозначают строчной греческой буквой ([math] \alpha_n, \beta_n, \gamma_n, ... [/math]).

[math] \alpha_n = \frac 1n [/math] (из аксиомы Архимеда).

[math] 0 \lt \varepsilon \lt 1, \exists N \in \mathbb N: 1 \lt N \cdot \varepsilon \Leftrightarrow \frac 1N \lt \varepsilon [/math]

[math] n \gt N \Rightarrow \frac 1n \lt \frac 1N \lt \varepsilon [/math] — выполняется для произведения [math] \varepsilon [/math] и [math] n \gt N \Rightarrow \lim\frac 1n = 0 [/math]

Пример 1

[math] a_n = 2^{\frac 1n} \rightarrow 1 \, (?)[/math]

[math] 2^{\frac 1n} \gt 1 [/math]. Обозначим [math] \alpha_n = 2^{\frac 1n} - 1 \gt 0 [/math]

[math] 2^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \Rightarrow 2 = (1 + \alpha_n)^n \ge 1 + n \cdot \alpha_n [/math] (используем неравенство Бернулли).

[math] 0 \lt \alpha_n \le \frac 1n \Rightarrow \alpha_n [/math] — бесконечно малая.

[math] 2^{\frac 1n} = 1 + [/math] (б.м.) [math] \Rightarrow \lim 2^{\frac 1n} = 1 [/math]

Именно по этой причине говорят, что [math] 2^0 = 1 [/math].

Пример 2

[math] a_n = n^{\frac 1n} \rightarrow 1 [/math]

[math] n^{\frac 1n} \gt 1 [/math]

[math] 0 \lt \alpha_n = n^{\frac 1n} - 1 [/math]

[math] n^{\frac 1n} = \alpha_n + 1 \Rightarrow n = (1 + \alpha_n)^n = \sum\limits_{j=0}^n {n \choose j} \cdot \alpha_n^j \ge {n \choose 2} \cdot \alpha_n^2 [/math]

[math] {n \choose 2} = \frac {n(n-1)}{2} [/math]

[math] 0 \lt \alpha_n^2 \lt \frac 2{n-1} \rightarrow 0 \Rightarrow \alpha_n^2 \rightarrow 0 [/math]

[math] \alpha_n^2 \rightarrow 0 [/math]:

[math] \forall \varepsilon_0 = \varepsilon^2 \gt 0, \exists N: \forall n \gt N: \alpha_n^2 \lt \varepsilon_0 = \varepsilon^2 [/math]

[math] \alpha_n^2 \lt \varepsilon^2 \Rightarrow \alpha_n \lt \varepsilon [/math] - определение предела верно и для [math] \alpha_n [/math]

[math] \alpha_n [/math] — бесконечно малая [math] \Rightarrow n^{\frac 1n} = 1 + \alpha_n \rightarrow 1 [/math]

Утверждение:

Пусть [math] \alpha_n, \beta_n [/math] — бесконечно малые. Тогда [math] (\alpha_n + \beta_n), (\alpha_n \cdot \beta_n) [/math] — также бесконечно малые.

[math]\triangleright[/math]

1) [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N: \forall n \gt N: \alpha_n \lt \frac {\varepsilon}2 , \beta_n \lt \frac {\varepsilon}2 [/math] [math] |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| \lt \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon [/math] - для всех [math]n[/math], начиная с [math]N[/math]. 2) [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N: \forall n \gt N: \alpha_n \lt \varepsilon , \beta_n \lt 1 [/math] [math] |\alpha_n \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| \lt \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon [/math] — для всех [math]n[/math], начиная с [math]N[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Таким же приемом, для произведения, доказывается, что, если [math] \alpha_n [/math] — бесконечно малая, и [math] a_n [/math] — ограниченная, то [math] \alpha_n \cdot a_n [/math] — также бесконечно малая [math] \Rightarrow [/math] произведение бесконечно малой на ограниченную — также бесконечно малая.

Утверждение:

Из пунктов 4 и 5 вытекает так называемая арифметика пределa: [math] a_n \rightarrow a, b_n \rightarrow b \Rightarrow [/math]: [math] (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b [/math] [math] (a_n \cdot b_n) \rightarrow a \cdot b [/math] Если [math] \lim b_n \ne 0 [/math], то [math] ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab [/math]

[math]\triangleright[/math]

Докажем, например, свойство для произведения: Представим [math] a_n, b_n [/math] в виде: [math] a_n = a + \alpha_n, b_n = b + \beta_n [/math]. Тогда [math] a_n \cdot b_n = (a + \alpha_n) \cdot (b + \beta_n) = a \cdot b + \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n [/math] По доказанному ранее свойству бесконечно малых, их произведение и произведение бесконечно малой на ограниченную — также бесконечно малые величины: [math] \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n \rightarrow 0 \Rightarrow a \cdot b + \alpha_n \cdot b + \beta_n \cdot a + \alpha_n \cdot \beta_n \rightarrow a \cdot b [/math]

[math]\triangleleft[/math]