Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание

Автоматы с [math]\varepsilon[/math]-переходами

Конечный автомат с [math]\varepsilon[/math]-переходами — конечный автомат, в котором есть возможность совершать переходы по [math]\varepsilon[/math].

Определение:

[math]\varepsilon[/math]-НКА или НКА с [math]\varepsilon[/math]-переходами (англ. [math]\varepsilon[/math]-moves) — набор [math]A={\langle\Sigma,Q,s,T,\delta\rangle}[/math], где все компоненты имеют тот же смысл, что и для НКА, за исключением [math]\delta : Q\times (\Sigma\cup\{\varepsilon\}) \to 2^Q[/math].

Эквивалентность автоматов с переходами по строкам и НКА. [math]\varepsilon[/math]-замыкание

Будем называть два автомата эквивалентными, если они задают один и тот же язык.
Рассмотрим автомат, в котором переходы осуществляются по строкам. Это переходы вида [math]\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle q,\beta\rangle[/math], где [math]\alpha,\beta[/math] — строки.

Теорема:

Автоматы с переходами по строкам эквивалентны недетерминированным конечным автоматам.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим два случая: [math]\left | \alpha \right | \geqslant 1[/math] Заменим переходы по таким строкам на последовательности переходов по символам. А именно, пусть [math]\alpha=a_1a_2 \ldots a_n[/math], где [math]a_1,a_2, \ldots ,a_n[/math] — символы. Заменим переход [math]\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle q,\beta\rangle[/math] на переходы [math]{\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle t_1, a_1^{-1}\alpha\beta\rangle},{\langle t_1,a_1^{-1}\alpha\beta\rangle\vdash\langle t_2,(a_1a_2)^{-1}\alpha\beta\rangle}, \ldots ,{\langle t_{n-1}, a_n\beta\rangle\vdash\langle q, \beta\rangle}.[/math] [math]\left | \alpha \right | = 0 \Rightarrow \alpha = \varepsilon[/math] Рассматриваем автомат [math]A[/math] с [math]\varepsilon[/math]-переходами. Для доказательства его эквивалентности НКА построим его [math]\varepsilon[/math]-замыкание. Определение: [math]\varepsilon[/math]-замыкание (англ. [math]\varepsilon[/math]-closure) — построение по автомату с [math]\varepsilon[/math]-переходами эквивалентного ему автомата без [math]\varepsilon[/math]-переходов. Ход построения [math]\varepsilon[/math]-замыкания: Транзитивное замыкание Пусть [math]B[/math] — подграф [math]A[/math], в котором есть только [math]\varepsilon[/math]-переходы. Сделаем транзитивное замыкание графа [math]B[/math]. Таким образом, получим из автомата [math]A[/math] новый автомат [math]A_1[/math], который допускает тот же язык. Заметим, что если [math]A_1[/math] допускает слово [math]x[/math], то он допускает [math]x[/math], не совершая двух [math]\varepsilon[/math]-переходов подряд. Добавление допускающих состояний Пусть в [math]A_1[/math] есть [math]\varepsilon[/math]-переход из состояния [math]u[/math] в состояние [math]v[/math], причем [math]v[/math] — допускающее. Тогда, если текущее состояние [math]u[/math] и строка закончилась, то её можно допустить. Во всех таких случаях сделаем [math]u[/math] допускающим. Получим автомат [math]A_2[/math], обладающий тем же свойством, что и [math]A_1[/math], а также не совершающий [math]\varepsilon[/math]-переходов в качестве последнего перехода. Добавление рёбер Во всех случаях, когда [math]{\delta(u,\varepsilon)=v}, {\delta(v,c)=w}[/math], добавим переход [math]\delta(u,c)=w[/math]. Заметим, что если полученный автомат [math]A_3[/math] допускает [math]x[/math], то он допускает [math]x[/math], не совершая [math]\varepsilon[/math]-переходов. Устранение [math]\varepsilon[/math]-переходов Из предыдущего замечания следует, что если теперь устранить [math]\varepsilon[/math]-переходы, то допускаемый язык не изменится. Уберем из [math]A_3[/math] все [math]\varepsilon[/math]-переходы. Получили НКА без [math]\varepsilon[/math]-переходов, эквивалентный исходному автомату.

[math]\triangleleft[/math]

Совпадение множеств языков, допускаемых [math]\varepsilon[/math]-НКА и ДКА

Утверждение:

Множество языков, допускаемых автоматами с [math]\varepsilon[/math]-переходами, совпадает с множеством языков, допускаемых детерминированными конечными автоматами.

[math]\triangleright[/math]

[math] \mathcal{L}([/math]ДКА[math]) = \mathcal{L}([/math]НКА[math])[/math]. По только что доказанной теореме, [math] \mathcal{L}([/math]НКА[math]) = \mathcal{L}([/math][math]\varepsilon[/math]-НКА[math])[/math]. Значит, [math] \mathcal{L}([/math]ДКА[math]) = \mathcal{L}([/math][math]\varepsilon[/math]-НКА[math])[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Применение

В некоторых случаях НКА с [math]\varepsilon[/math]-переходами строятся проще, чем просто НКА и тем более ДКА для тех же языков. Доказанная выше эквивалентность [math] \mathcal{L}([/math]ДКА[math])[/math],[math]\mathcal{L}([/math]НКА[math])[/math] и [math]\mathcal{L}([/math][math]\varepsilon[/math]-НКА[math])[/math] позволяет нам при помощи алгоритма [math]\varepsilon[/math]-замыкания легко приводить одно к другому и далее к третьему. Также свойства, доказанные выше, являются важной составляющей доказательства теоремы Клини.

См. также

• Недетерминированные конечные автоматы
• Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)

Источники информации

• Wikipedia — Nondeterministic finite automaton
• Wikipedia — Nondeterministic finite automaton with epsilon-moves