|
|
| (не показана 1 промежуточная версия 1 участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{Шаблон:Задача
| + | #перенаправление [[Алгоритм Манакера]] |
| − | |definition =
| |
| − | Пусть дана строка <tex>s</tex>, требуется посчитать количество [[Основные_определения,_связанные_со_строками#palindrome | палиндромов]] в ней.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | == Алгоритм ==
| |
| − | === Идея ===
| |
| − | Рассмотрим сначала задачу поиска палиндромов нечетной длины. Центром строки нечетной длины назовем символ под индексом <tex>\lfloor \frac{|t|}{2}\rfloor</tex>. Для каждой позиции в строке <tex>s</tex> найдем длину наибольшего палиндрома с центром в этой позиции. Очевидно, что если строка <tex>t</tex> является палиндромом, то строка полученная вычеркиванием первого и последнего символа из <tex>t</tex> также является палиндромом, поэтому длину палиндрома можно искать [[Целочисленный_двоичный_поиск | бинарным поиском]]. Проверить совпадение левой и правой половины можно выполнить за <tex>O(1)</tex>, используя метод хеширования.
| |
| − | | |
| − | Для палиндромов четной длины алгоритм такой же. Центр строки четной длины {{---}} некий мнимый элемент между <tex>\frac{|t|}{2} - 1</tex> и <tex>\frac{|t|}{2}</tex>. Только требуется проверять вторую строку со сдвигом на единицу. Следует заметить, что мы не посчитаем никакой палиндром дважды из-за четности-нечетности длин палиндромов.
| |
| − | | |
| − | === Псевдокод ===
| |
| − | '''int''' binarySearch(s : '''string''', center, shift : '''int'''):
| |
| − | ''<font color=green>//shift = 0 при поиске палиндрома нечетной длины, иначе shift = 1</font>''
| |
| − | '''int''' l = -1, r = min(center, s.length - center + shift), m = 0
| |
| − | '''while''' r - l != 1
| |
| − | m = l + (r - l) / 2
| |
| − | ''<font color=green>//reversed_hash возвращает хэш развернутой строки s</font>''
| |
| − | '''if''' hash(s[center - m..center]) == reversed_hash(s[center + shift..center + shift + m])
| |
| − | l = m
| |
| − | '''else'''
| |
| − | r = m
| |
| − | '''return''' r
| |
| − | | |
| − | '''int''' palindromesCount(s : '''string'''):
| |
| − | '''int''' ans = 0
| |
| − | '''for''' i = 0 '''to''' s.length
| |
| − | ans += binarySearch(s, i, 0) + binarySearch(s, i, 1)
| |
| − | '''return''' ans
| |
| − | | |
| − | === Время работы ===
| |
| − | Изначальный подсчет хешей производится за <tex>O(|s|)</tex>. Каждая итерация будет выполняться за <tex>O(\log(|s|))</tex>, всего итераций {{---}} <tex>|s|</tex>. Итоговое время работы алгоритма <tex>O(|s|+|s|\cdot \log(|s|)) = O(|s|\cdot \log(|s|))</tex>.
| |
| − | | |
| − | === Избавление от коллизий ===
| |
| − | У хешей есть один недостаток {{---}} коллизии: можно подобрать входные данные так, что хеши разных строк будут совпадать. Абсолютно точно проверить две подстроки на совпадение можно с помощью [[Суффиксный массив | суффиксного массива]], но с дополнительной памятью <tex>O(|s|\cdot \log(|s|))</tex>. Для этого построим суффиксный массив для строки <tex>s + \# + reverse(s)</tex>, при этом сохраним промежуточные результаты классов эквивалентности <tex>c</tex>. Пусть нам требуется проверить на совпадение подстроки <tex>s[i..i + l]</tex> и <tex>s[j..j + l]</tex>. Разобьем каждую нашу строку на две пересекающиеся подстроки длиной <tex>2^k</tex>, где <tex>k = \lfloor \log{l} \rfloor</tex>. Тогда наши строки совпадают, если <tex>c[k][i] = c[k][j]</tex> и <tex>c[k][i + l - 2^k] = c[k][j + l - 2^k]</tex>.
| |
| − | | |
| − | Итоговая асимптотика алгоритма: предподсчет за построение суффиксного массива и <tex>O(\log(|s|))</tex> на запрос, если предподсчитать все <tex>k</tex>, то <tex>O(1)</tex>.
| |
| − | | |
| − | ==См. также==
| |
| − | *[[Суффиксный массив]]
| |
| − | *[[Поиск наибольшей общей подстроки двух строк с использованием хеширования]]
| |
| − | | |
| − | ==Источники информации==
| |
| − | * [http://e-maxx.ru/algo/suffix_array#5 MAXimal :: algo :: Суффиксный массив]
| |
| − | [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
| |
| − | [[Категория:Суффиксный массив]]
| |
