PSumCi — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Псевдокод)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников)
Строка 9: Строка 9:
  
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
Итоговым расписанием будет массив <tex>schedule</tex> где в <tex>schedule[i][j]</tex> храниться номер работы которую надо исполнить на станке номер <tex>i</tex>, <tex>j</tex>-ой по счёту.
+
Итоговым расписанием будет массив <tex>\mathtt{schedule}</tex> где в <tex>\mathtt{schedule[i][j]}</tex> храниться номер работы которую надо исполнить на станке номер <tex>i</tex>, <tex>j</tex>-ой по счёту.
  
  '''function''' getSchedule(jobs : '''int'''[n]): <font color=green>// jobs - массив номеров работ отсортированных в порядке невозрастания p[i].</font>
+
  '''function''' getSchedule(p : '''int'''[n]): '''list'''<'''int'''>[m]
   list<int> schedule[m] <font color=green> // Заведём список работ для каждого станка. Ответ будет храниться в нём.</font><br>
+
   '''Pair'''<'''int''','''int'''> jobs[n]
 
   '''for''' i = 0 '''to''' n
 
   '''for''' i = 0 '''to''' n
     schedule[i mod m].push(jobs[i]) <font color=green>// Cтавим i-ую в порядке уменьшения p[i] работу на станок i mod m в конец.</font><br>
+
     jobs[i] = <tex>\langle</tex>p[i], i<tex>\rangle</tex> <font color=green>// Создаём пары для востановления номера работы после сортировки.</font>
   <font color=green>// Заметим что расписание для каждого станка получилось перевёрнутым.<br>  // Поэтому развернём расписание для каждого станка.</font>
+
  sort(jobs) <font color=green>// Cортируем массив в порядке уменьшения p[i].</font><br>
   '''for''' i = 0 '''to''' m
+
   '''list'''<'''int'''> schedule[m] <font color=green> // Заведём список работ для каждого станка. Ответ будет храниться в нём.</font>
     schedule[i].reverse()<br>
+
   '''for''' i = 0 '''to''' n
 +
     schedule[i mod m].pushFront(jobs[i].second) <font color=green>// Cтавим i-ую в порядке уменьшения p[i] работу на станок i mod m в конец.</font><br>
 
   '''return''' schedule
 
   '''return''' schedule
  
Строка 40: Строка 41:
 
|proof= Пусть это не так и оптимальное расписание отличается от расписания построенного алгоритмом. Заметим что расписание построенное алгоритмом удовлетворяет обеим леммам. Тогда можно воспользоваться одной из них чтобы улучшить оптимальное раписание. Следовательно {{---}} оптимальное расписание не оптимально. Противоречие. }}
 
|proof= Пусть это не так и оптимальное расписание отличается от расписания построенного алгоритмом. Заметим что расписание построенное алгоритмом удовлетворяет обеим леммам. Тогда можно воспользоваться одной из них чтобы улучшить оптимальное раписание. Следовательно {{---}} оптимальное расписание не оптимально. Противоречие. }}
  
=== Источники информации ===
+
== См. также ==
 +
* [[Pintreepi1Lmax|<tex>P \mid intree, p_{i} = 1 \mid L_{max}</tex>]]
 +
* [[PpmtnriLmax|<tex>P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>]]
 +
* [[Ppi1sumwu|<tex>P \mid p_i=1 \mid \sum w_i U_i</tex>]]
 +
== Источники информации ==
 
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 22
 
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 22
  
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
+
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]
 
[[Категория: Теория расписаний]]

Текущая версия на 19:31, 4 сентября 2022

[math]P \mid \mid \sum C_{i}[/math]

Задача:
Дано [math]n[/math] работ с заданными временами выполнения [math]p_{i}[/math] и [math]m[/math] параллельных станков с одинаковой скоростью выполнения работ.
Цель — составить такое расписание, чтобы суммарное время окончания всех работ было минимальным.


Описание алгоритма

Идея

Пусть [math]p_{i}[/math] заданы в порядке невозрастания ([math]p_{0} \geqslant p_{1} \geqslant \ldots \geqslant p_{n-1} [/math]). Пусть теперь [math]b_{i} = \left\lceil\dfrac{i}{m}\right\rceil[/math]. Тогда в оптимальном расписании работа с номером [math]i[/math] будет выполнена на станке с номером [math]i \bmod m[/math], [math]b_{i}[/math]-ой с конца.

Псевдокод

Итоговым расписанием будет массив [math]\mathtt{schedule}[/math] где в [math]\mathtt{schedule[i][j]}[/math] храниться номер работы которую надо исполнить на станке номер [math]i[/math], [math]j[/math]-ой по счёту.

function getSchedule(p : int[n]): list<int>[m]
  Pair<int,int> jobs[n]
  for i = 0 to n
    jobs[i] = [math]\langle[/math]p[i], i[math]\rangle[/math] // Создаём пары для востановления номера работы после сортировки.
  sort(jobs) // Cортируем массив в порядке уменьшения p[i].
list<int> schedule[m] // Заведём список работ для каждого станка. Ответ будет храниться в нём. for i = 0 to n schedule[i mod m].pushFront(jobs[i].second) // Cтавим i-ую в порядке уменьшения p[i] работу на станок i mod m в конец.
return schedule

Ассимптотика

Так как нам понадобится сортировка для массива [math]p_{i}[/math], то итоговая ассимптотика будет [math]\mathcal{O}(n\log{n})[/math].

Доказательство корректности

Докажем две леммы:

Лемма:
В оптимальном расписании на каждом станке работы выполняются в порядке неубывания времён выполнения.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так. Заметим что [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Следовательно каждая работа даёт вклад равный [math]p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Тогда поменяем местами две работы которые нарушают порядок невозрастания. Заметим что [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] уменьшилась. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
В оптимальном расписании количество выполненных работ на любых двух станках отличается не более чем на [math]1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так. Как было отмечено в предыдущей лемме, каждая работа даёт вклад в [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] равный [math]p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Найдём два станка количество работ на которых отличается больше чем на [math]1[/math]. Пусть это станки [math]x[/math] и [math]y[/math]. Причём на стнаке [math]x[/math] выполняется больше работ. Тогда если отправить первую с начала работу со станка [math]x[/math] на станок [math]y[/math] то [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] уменьшится на разность количества работ на станках [math]x[/math] и [math]y[/math]. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Алгоритм [math]P \mid \mid \sum C_{i}[/math] строит оптимальное расписание.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так и оптимальное расписание отличается от расписания построенного алгоритмом. Заметим что расписание построенное алгоритмом удовлетворяет обеим леммам. Тогда можно воспользоваться одной из них чтобы улучшить оптимальное раписание. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 22