Теорема Вагнера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
Вагнер опубликовал теорему в 1937, после публикации в 1930 [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|теоремы Куратовского]], согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфных]] <tex> K_{5} </tex> и <tex> K_{3, 3} </tex>. [[Теорема_Понтрягина-Куратовского|Теорема Куратовского]] сильнее теоремы Вагнера — [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфный]] подграф может быть преобразован в минор того же типа путём стягивания всех, кроме одного, рёбер в каждом пути, полученном при разбиении ребра путем добавления вершины, а вот обратное преобразование из минора в [[Укладка_графа_на_плоскости|гомеоморфный]] подграф того же типа не всегда возможно.
 
__TOC__
 
__TOC__
  
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition =  
 
|definition =  
<b>Минором графа</b> (англ. ''Graph minor'') <tex>G</tex> будем называть граф <tex>H</tex>, если <tex>H</tex> может быть образован из <tex>G</tex> удалением рёбер и вершин или стягиванием рёбер.  
+
'''Минором графа''' (англ. ''Graph minor'') <tex>G</tex> будем называть граф <tex>H</tex>, если <tex>H</tex> может быть образован из <tex>G</tex> удалением рёбер и вершин или стягиванием рёбер.  
 
}}  
 
}}  
 +
 +
Миноры графов часто изучаются в более общем контексте миноров [[Примеры_матроидов:_графовый_матроид|графовых матроидов]]. В этом контексте обычно полагается, что графы связны, могут иметь петли и кратные рёбра (то есть, рассматриваются [[Основные_определения_теории_графов|псевдографы]], а не простые графы). Стягивание петли и удаление разрезающего ребра запрещены. При таком подходе удаление ребра оставляет ранг графа неизменным, а стягивание ребра всегда уменьшает ранг на единицу.
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
Строка 13: Строка 16:
 
<tex>H</tex>[[Файл:Olllddd.png‎]]
 
<tex>H</tex>[[Файл:Olllddd.png‎]]
  
 +
== Теорема ==
  
 
{{Теорема  
 
{{Теорема  
Строка 29: Строка 33:
 
   
 
   
  
В силу определения минора, если в <tex>G</tex> существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>, <tex> U_{2} </tex>, <tex> U_{3} </tex>, <tex> W_{1} </tex>, <tex> W_{2} </tex>, <tex> W_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф <tex>G</tex>, такие что для каждого <tex>i</tex> и <tex>j</tex> существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex>, такие что <tex>({u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}})</tex> принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого <tex>i</tex> существует поддерево в <tex>G</tex> , у которого три листа <tex>w_{1} \in W_{1}</tex>, <tex>w_{2} \in W_{2}</tex>, <tex>w_{3} \in W_{3}</tex>, а все остальные вершины подграфа принадлежат <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с <tex>j</tex> симметрична. <br/>
+
В силу определения минора, если в <tex>G</tex> существует минор содержащий <tex> K_{3, 3} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} </tex>, <tex> U_{2} </tex>, <tex> U_{3} </tex>, <tex> W_{1} </tex>, <tex> W_{2} </tex>, <tex> W_{3} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф <tex>G</tex>, такие что для каждого <tex>i</tex> и <tex>j</tex> существует <tex> {u_{i, j} \in U_{i}} </tex> и <tex> {w_{i, j} \in W_{j}} </tex> и <tex>({u_{i,j}} </tex>,<tex> {w_{i,j}})</tex> принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого <tex>i</tex> существует поддерево в <tex>G</tex> , у которого три листа <tex>w_{1} \in W_{1}</tex>, <tex>w_{2} \in W_{2}</tex>, <tex>w_{3} \in W_{3}</tex>, а все остальные вершины подграфа принадлежат <tex> U_{i} </tex>. Ситуация с <tex>j</tex> симметрична. <br/>
Вследствие [[Лемма_о_рукопожатиях|леммы о рукопожатиях]], дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в <tex>G</tex> существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соединенные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>. <br/>
+
Вследствие [[Лемма_о_рукопожатиях|леммы о рукопожатиях]] дерево с тремя вершинами гомеоморфно <tex> K_{1, 3} </tex>. Таким образом, в <tex>G</tex> существует подграф гомеоморфный шести копиям <tex> K_{1, 3} </tex> соединенные три на три, т.е. получаем <tex> K_{3, 3} </tex>. <br/>
  
 
=====''Доказательство второй части'' <br/>=====
 
=====''Доказательство второй части'' <br/>=====
  
 
В силу определения минора, если в <tex>G</tex> существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} \ldots U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф <tex>G</tex>, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого <tex>i</tex> существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в <tex>G</tex> с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> <tex>({i \ne j}) </tex> и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. <br/>
 
В силу определения минора, если в <tex>G</tex> существует минор содержащий <tex> K_{5} </tex>,значит существуют множества вершин <tex> U_{1} \ldots U_{5} </tex> попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф <tex>G</tex>, такие что для всех <tex> {i \ne j} </tex> существует <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} </tex> и <tex> {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} </tex>, такие что ( <tex> {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} </tex>) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого <tex>i</tex> существует поддерево <tex> T_{i} </tex> в <tex>G</tex> с четырьмя листьями, по одному листу в каждом <tex> U_{j} </tex> <tex>({i \ne j}) </tex> и с остальными вершинами внутри <tex> U_{i} </tex>. <br/>
В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо <tex> K_{1, 4} </tex>, либо двум связным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Значит в <tex>G</tex> есть подграф гомеоморфный пяти копиям <tex> K_{1, 4} </tex>, соединенные друг с другом. Т.е. получаем <tex> K_{5} </tex>. В противном случае подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex> может быть получен с помощью следующих процедур:  
+
Вследствие [[Лемма_о_рукопожатиях|леммы о рукопожатиях]] дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо <tex> K_{1, 4} </tex>, либо двум связным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Значит в <tex>G</tex> есть подграф гомеоморфный пяти копиям <tex> K_{1, 4} </tex>, соединенные друг с другом. Т.е. получаем <tex> K_{5} </tex>. В противном случае подграф гомеоморфный <tex> K_{3, 3} </tex> может быть получен с помощью следующих процедур:  
 
#Берем одну из <tex> T_{i} </tex> гомеоморфную двум соединенным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Назовем их <tex> T_{i, r} </tex> и <tex> T_{i, b} </tex>.  
 
#Берем одну из <tex> T_{i} </tex> гомеоморфную двум соединенным копиям <tex> K_{1, 3} </tex>. Назовем их <tex> T_{i, r} </tex> и <tex> T_{i, b} </tex>.  
 
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{i, r} </tex>, за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.  
 
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{i, r} </tex>, за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.  
Строка 42: Строка 46:
 
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{j} </tex>, которые включают в себя <tex> T_{i, b} </tex>.  
 
#Покрасим в красный вершины <tex> T_{j} </tex>, которые включают в себя <tex> T_{i, b} </tex>.  
 
#Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных <tex> T_{j} </tex>.  
 
#Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных <tex> T_{j} </tex>.  
Такое "обрезание" приведет к тому что <tex> T_{j} </tex> будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины.  
+
Такое «''обрезание''»  приведет к тому что <tex> T_{j} </tex> будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины.  
 
Граф
 
Граф
 
сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен <tex> K_{3, 3} </tex>.
 
сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен <tex> K_{3, 3} </tex>.
Строка 48: Строка 52:
 
<tex>\Leftarrow</tex><br>
 
<tex>\Leftarrow</tex><br>
  
Пусть существует подграф гомеоморфный <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex>. В силу гомеоморфизма, заметим, что данные подграфы можно получить только путем стягивания ребер между вершинами такими, что хотя бы одна их них должна иметь степень 2. Удалим все ребра и вершины графа, которые не входят в этот подграф. Таким образом, мы получили минор содержащий <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex> соответственно.  
+
Пусть существует подграф гомеоморфный <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex>. В силу гомеоморфизма, заметим, что данные подграфы можно получить только путем стягивания ребер между вершинами такими, что хотя бы одна их них должна иметь степень <tex>2</tex>. Удалим все ребра и вершины графа, которые не входят в этот подграф. Таким образом, мы получили минор содержащий <tex> K_{5} </tex> или <tex> K_{3, 3} </tex> соответственно.  
 
}}
 
}}
  

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

Вагнер опубликовал теорему в 1937, после публикации в 1930 теоремы Куратовского, согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов гомеоморфных [math] K_{5} [/math] и [math] K_{3, 3} [/math]. Теорема Куратовского сильнее теоремы Вагнера — гомеоморфный подграф может быть преобразован в минор того же типа путём стягивания всех, кроме одного, рёбер в каждом пути, полученном при разбиении ребра путем добавления вершины, а вот обратное преобразование из минора в гомеоморфный подграф того же типа не всегда возможно.


Определение:
Минором графа (англ. Graph minor) [math]G[/math] будем называть граф [math]H[/math], если [math]H[/math] может быть образован из [math]G[/math] удалением рёбер и вершин или стягиванием рёбер.


Миноры графов часто изучаются в более общем контексте миноров графовых матроидов. В этом контексте обычно полагается, что графы связны, могут иметь петли и кратные рёбра (то есть, рассматриваются псевдографы, а не простые графы). Стягивание петли и удаление разрезающего ребра запрещены. При таком подходе удаление ребра оставляет ранг графа неизменным, а стягивание ребра всегда уменьшает ранг на единицу.

Пример

В следующем примере граф [math]H[/math] является минором графа [math]G[/math]:

[math]G[/math] Olddddd.png

[math]H[/math]Olllddd.png

Теорема

Теорема:
Граф планарен тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни [math] K_{5} [/math] ни [math] K_{3, 3} [/math] .
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Иначе говоря в соответствии с теоремой Понтрягина-Куратовского, теорему можно переформулировать: « В графе [math]G[/math] есть миноры содержащие [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] »

[math]\Rightarrow[/math]

Разделим доказательство на две части

  1. Если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math], тогда в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math].
  2. Если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{5} [/math], тогда в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный либо [math] K_{3, 3} [/math] , либо [math] K_{5} [/math].
Доказательство первой части

В силу определения минора, если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} [/math], [math] U_{2} [/math], [math] U_{3} [/math], [math] W_{1} [/math], [math] W_{2} [/math], [math] W_{3} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф [math]G[/math], такие что для каждого [math]i[/math] и [math]j[/math] существует [math] {u_{i, j} \in U_{i}} [/math] и [math] {w_{i, j} \in W_{j}} [/math] и [math]({u_{i,j}} [/math],[math] {w_{i,j}})[/math] принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого [math]i[/math] существует поддерево в [math]G[/math] , у которого три листа [math]w_{1} \in W_{1}[/math], [math]w_{2} \in W_{2}[/math], [math]w_{3} \in W_{3}[/math], а все остальные вершины подграфа принадлежат [math] U_{i} [/math]. Ситуация с [math]j[/math] симметрична.
Вследствие леммы о рукопожатиях дерево с тремя вершинами гомеоморфно [math] K_{1, 3} [/math]. Таким образом, в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный шести копиям [math] K_{1, 3} [/math] соединенные три на три, т.е. получаем [math] K_{3, 3} [/math].

Доказательство второй части

В силу определения минора, если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{5} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} \ldots U_{5} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф [math]G[/math], такие что для всех [math] {i \ne j} [/math] существует [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} [/math] и [math] {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} [/math], такие что ( [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого [math]i[/math] существует поддерево [math] T_{i} [/math] в [math]G[/math] с четырьмя листьями, по одному листу в каждом [math] U_{j} [/math] [math]({i \ne j}) [/math] и с остальными вершинами внутри [math] U_{i} [/math].
Вследствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо [math] K_{1, 4} [/math], либо двум связным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Значит в [math]G[/math] есть подграф гомеоморфный пяти копиям [math] K_{1, 4} [/math], соединенные друг с другом. Т.е. получаем [math] K_{5} [/math]. В противном случае подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math] может быть получен с помощью следующих процедур:

  1. Берем одну из [math] T_{i} [/math] гомеоморфную двум соединенным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Назовем их [math] T_{i, r} [/math] и [math] T_{i, b} [/math].
  2. Покрасим в красный вершины [math] T_{i, r} [/math], за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий.
  3. Покрасим в синий вершины [math] T_{i, b} [/math], за исключением двух вершин которые окрашены в красный.
  4. Покрасим в синий вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, r} [/math].
  5. Покрасим в красный вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, b} [/math].
  6. Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных [math] T_{j} [/math].

Такое «обрезание» приведет к тому что [math] T_{j} [/math] будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины. Граф сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен [math] K_{3, 3} [/math].

[math]\Leftarrow[/math]

Пусть существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math]. В силу гомеоморфизма, заметим, что данные подграфы можно получить только путем стягивания ребер между вершинами такими, что хотя бы одна их них должна иметь степень [math]2[/math]. Удалим все ребра и вершины графа, которые не входят в этот подграф. Таким образом, мы получили минор содержащий [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] соответственно.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Graph minor — Wikipedia
  • Geir Agnarsson, Raymond Greenlaw. Graph Theory: Modeling, Applications and Algorithms, 2006 — глава 7.5 стр. 210