Двойственное пространство

Введение

Введем понятия двойственного, к пространству [math]\mathbb{R}^2[/math], пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах. Пока в конспекте есть недочеты.

Определение

Определение:

Двойственным пространством называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве [math]\mathbb{R}^2[/math].

Любой линейный функционал [math]f[/math] можно представить как [math]f((x, y)) := ax + b = cy[/math]. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами [math](a, -b, c)[/math]. Таким образом, мы можем определить дуальное преобразование ([math]p \mapsto p^\star[/math]) для прямой, как точку в двойственном пространстве.

Утверждение:

Дуальное преобразование от точки [math]p = (p_x, p_y, p_z)[/math] в исходном пространстве дает прямую [math]p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)[/math] в двойственном.

[math]\triangleright[/math]

Расмотрим все прямые [math]l[/math], такие что [math]p \in l[/math]. Более формально, пусть [math]L = \{l : l = (a, b, c), \: cp_y = ap_x - b p_z\}[/math]. Для каждой можно выразить [math]b[/math]: [math]b p_z = ap_x - cp_y[/math], сделаем замену [math]\left[a := x, b := y\right][/math] и получим, что все точки [math]l^\star[/math] из [math]L[/math] удовлетворяют уравнению прямой.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]l[/math] - прямая, а [math]p[/math] - точка, тогда: [math]p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star[/math] [math]p[/math] лежит над [math]l[/math], тогда и только тогда когда [math]l^\star[/math] лежит над [math]p^\star[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]p \in l[/math]. Возьмем две точки [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] такие, что [math]p_1, p_2 \in l[/math]. Тогда [math]\text{rot}(p_1, p_2, p) = \begin{vmatrix} p_{1x} & p_{1y} & p_{1z} \\ p_{2x} & p_{2y} & p_{2z} \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} = 0[/math]. Воспользуемся леммой о предикате проверки расположения прямых. В двойственном пространстве точкам [math]p, p_1, p_2[/math] будут соответствовать прямые с соответствующими коэффициентами. Так как этот предикат равен нулю, все три прямые пройдут через одну точку - [math]l^\star[/math], в силу подстановки коэффициентов. Обратное следствие верно в силу того, что второе сопряженное пространство есть исходное. 2. Пусть [math]rot(p_1, p_2, p) \geqslant 0[/math] и [math] p_1 \geqslant p_2[/math]. Тогда, по лемме, [math]p^\star[/math] будет выше, чем [math]l^\star[/math]. Обратное аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Отрезок [math]pq[/math] переходит в такое множество: [math]P = \left\{t^\star = (x, y): \text{rot}(l^\star, p_1^\star, t^\star) \gt 0, \text{rot}(l^\star, q_1^\star, t^\star) \lt 0 \right\}[/math], где [math]l[/math] - прямая на которой лежат [math]p[/math] и [math]q[/math], а [math]p_1^\star \in p^\star, q_1^\star \in q^\star, \text{rot}(l^\star, p_1^\star, q_1^\star) \gt 0[/math] - .

[math]\triangleright[/math]

Условие [math]\text{rot}(l, p_1, q_1) \gt 0[/math] означает, что прямая [math]q_1[/math] лежит выше точки пересечения [math]p_1[/math] и [math]l[/math]. Зафиксируем [math]p_1[/math] и [math]q_1[/math]. Рассмотрим прямую [math]t[/math], пересекающую [math]pq[/math]. Так как [math]t[/math] лежит выше точки пересечения [math]p_1[/math] и [math]l[/math], то [math]\text{rot}(l, p_1, t) \gt 0[/math], Так как [math]t[/math] лежит ниже точки пересечения [math]q_1[/math] и [math]l[/math], то [math]\text{rot}(l, q_1, t) \lt 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Прикладной смысл двойственного пространства

Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:

1. Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве
2. Set of points to Arrangements of Lines // TODO