Три основных теоремы о пределах

Эта статья находится в разработке!

Лекция от 27 сентября 2010.

Определение предела

Теорема Вейерштрасса

Определение:

Последовательность [math] a \uparrow [/math] ([math] a [/math] возрастает), если [math] \forall n: a_n \le a_{n+1} [/math] Последовательность [math] a \downarrow [/math] ([math] a [/math] убывает), если [math] \forall n: a_n \ge a_{n+1} [/math]

Определение:

Последовательность [math] a_n [/math] ограничена, если [math] \exists a \in \mathbb R: |a_n| \le a [/math] [math] a_n [/math] — ограничена сверху, если [math] \exists a \in \mathbb R: a_n \le a [/math] [math] a_n [/math] — ограничена снизу, если [math] \exists a \in \mathbb R: a_n \ge a [/math]

Теорема (Вейерштрасс):

Пусть [math] a_n \uparrow [/math] и [math] a_n [/math] ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если [math] a_n \downarrow [/math], [math] a_n [/math] — ограничена снизу).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \exists d \in \mathbb R: d = \sup\limits_{n \in \mathbb N} a_n [/math], поскольку [math] a_n [/math] — ограничена сверху, и [math] d [/math] — конечен, так как [math] a_n [/math] — ограничена сверху. По определению [math] \sup a_n [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N: d - \varepsilon \lt a_n [/math] Так как [math] a_n \uparrow [/math], то [math] \forall n \gt N: a_n \ge a_N [/math] [math] d - \varepsilon \lt a_n \Rightarrow d - \varepsilon \le a_n \le d + \varepsilon [/math] Итак: [math] \forall \varepsilon \gt 0: \exists N: \forall n \gt N: |d - a_n| \le \varepsilon \Rightarrow d = \lim a_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Пример

[math] a_n = (1 + \frac 1n)^n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k \frac {1}{n^k} [/math]

[math] C_n^k = \frac {n!}{k!(n-k)!} = \frac {1}{k!} (n(n-1)(n-2)...(n-k+1)) [/math]

Разделив данное равенство на [math] n ^ k [/math], получаем:

[math] a_n = \sum\limits_{k=0}^n \frac {1}{k!}(1 - \frac 0n)(1 - \frac 1n)...(1-\frac {k-1}{n}) \qquad {(*)} [/math]

[math] a_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac {1}{k!}(1 - \frac {0}{n+1})(1 - \frac {1}{n+1})...(1-\frac {k-1}{n+1}) [/math]

Сравнивая эти две суммы, можно заметить, что все слагаемые положительны, и каждое текущее слагаемое второй суммы больше соответствующего слагаемого первой суммы, из чего следует, что [math] a_{n+1} \gt a_n \Rightarrow a_n \uparrow [/math]

Теперь покажем, что [math] a_n [/math] ограничена.

[math] 2 = a_1, a_n \uparrow \Rightarrow \forall n \ge 1: a_n \ge 2 [/math]

Если вернуться к [math] (*) [/math], то видно, что все скобки не превосходят 1:

[math] a_n \lt \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n \frac 1{k!} [/math]

Пользуясь неравенством [math] k! \gt 2 ^ {k - 1} [/math], получаем:

[math] a_n \lt \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \sum\limits_{k=2}^n (\frac 12)^{k-1} \lt 1 + 1 + 1 = 3[/math] (по формуле геометрической прогрессии: [math] \sum\limits_{i=1}^n (\frac 12)^k \lt 1 [/math]).

[math] 2 \lt a_n \lt 3 \Rightarrow [/math] По теореме Вейерштрасса, [math] \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1n)^n [/math]. Его обозначают числом [math] e [/math]. Также только что мы показали, что [math] 2 \lt e \lt 3 [/math].

Теорема Больцано

Определение:

Если дана последовательность [math] \{ a_n \} [/math] и [math] \varphi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N, \varphi \uparrow [/math] (строго возрастает), тогда последовательность [math] b_n = a_{\varphi_(n)} [/math] называется подпоследовательностью исходной последовательности.

Пример

[math] b_n = a_{2n} : b_1 = a_2, b_2 = a_4, \dots [/math]

В силу строго возрастания [math] \varphi \uparrow [/math], очевидно, что если [math] a_n \rightarrow k [/math], то [math] a_{\varphi(n)} \rightarrow k [/math]. Любая подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Теорема (Больцано):

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Применим способ половинного деления, основанный на принципе вложенных отрезков: если строить систему отрезков путем деления предыдущего отрезка пополам, то получится система вложенных отрезков, и так до бесконечности.. Пересечение всех отрезков — 1 точка (по свойству системы вложенных отрезков). Раз [math] a_n [/math] ограничена, то [math] \forall n: a_n \in \Delta_0 = [c, d] [/math] Делим его пополам, тогда в одной из двух половин этого отрезка будет содержаться бесконечно много [math] a_n [/math]. Назовем его [math] \Delta_1, |\Delta_1| = \frac 12 |\Delta_0| [/math] Далее делим [math] \Delta_1 [/math] на 2 части и называем [math] \Delta_2 [/math] ту половину, в которой содержится бесконечно много [math] a_n [/math]. Продолжаем этот процесс до бесконечности. [math] \Delta_{n+1} \subset \Delta_n [/math] [math] |\Delta_n| \rightarrow 0 [/math] По принципу вложенных отрезков: [math] \exists !d^*: d^* \in \bigcap\limits_{n=0}^{\infty} \Delta_n [/math] [math] \Delta_n = [c_n, d_n], c_n, d_n \rightarrow d^* [/math] Построим следующую таблицу: [math] (a_{00}, a_{01}, a_{02}, \dots) \in \Delta_0 [/math] [math] (a_{10}, a_{11}, a_{12}, \dots) \in \Delta_1 [/math] [math] (a_{20}, a_{21}, a_{22}, \dots) \in \Delta_2 [/math] [math] \dots [/math] Каждая последующая строчка составляется из предыдущей. Выбирая подпоследовательность так, чтобы номер следующего элемента был строго больше номера предыдущего выбранного элемента в предыдущей строчке. Получили подпоследовательность [math] b_n [/math]: [math] c_n \le b_n \le d_n \Rightarrow b_n \rightarrow d^* [/math] (принцип сжатой переменной) [math] b_n [/math] — подпоследовательность [math] a_n [/math] и она сходится.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Коши

Пункт третий связан с одним из фундаментальных свойств числовой оси — полнотой.

Определение:

Последовательность [math] a_n [/math] сходится в себе: [math] \lim\limits_{m,n \rightarrow \infty} |a_n - a_m| = 0 [/math] [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb N: \forall n, m \gt N \Rightarrow |a_n - a_m| \lt \varepsilon [/math]

Утверждение:

Если [math] a_n [/math] сходится, то [math] a_n [/math] сходится в себе.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] a_n \rightarrow a, |a_n - a_m| \lt |a_n - a| + |a_m - a| \lt \varepsilon [/math], если в определении предела для [math] a_n \rightarrow a [/math] положить [math] \varepsilon ' = \frac {\varepsilon}2 [/math], тогда каждое слагаемое не больше [math] \frac {\varepsilon}2 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Коши):

Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Положим [math] \varepsilon = 1 \Rightarrow \exists N: \forall n \ge N: |a_n - a_N| \lt 1 [/math]. Вне [math] (a_N - 1, a_N + 1) [/math] может оказаться самое большее [math] a_1, a_2, ..., a_{N - 1} \Rightarrow [/math] последовательность [math] \{ a_n \} [/math] — ограничена. Раз она ограничена, по теореме Больцано, в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность. [math] \exists a_{n_k} \rightarrow a [/math] при [math] k \rightarrow \infty (a_{\varphi(n)} = a_{n_k}) [/math]. [math] |a_n - a| \le |a_n - a_{m_k}| + |a_{m_k} - a| [/math] По сходимости в себе: [math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists N: \forall m, n \gt N: |a_n - a_m| \lt \frac {\varepsilon}2 [/math] По сходимости [math] a_{m_k}: \exists M: \forall k \gt M \Rightarrow |a_{m_k} - a| \lt \frac {\varepsilon}2 [/math] Так как [math] m_k [/math] - неограниченно возрастающая последовательность натуральных чисел [math] \exists k_0 \gt M, m_{k_0} \gt N [/math], так как [math] M, N [/math] заданы. Тогда для такого [math] k_0 [/math] и всех [math] N, M : |a_n - a| \le |a_n - a_{m_{k_0}}| + |a_{m_{k_0}} - a| \lt \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a [/math]

[math]\triangleleft[/math]

[math] \{ a_n \} [/math] сходится [math] \iff \{ a_n \} [/math] сходится в себе.

Такое свойство принято называть полнотой вещественной оси, также — критерий Коши существования предела числовой последовательности.