|
|
| (не показано 89 промежуточных версий 9 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | Задача о коммивояжере (англ. ''travelling-salesman problem'') - это задача, в которой определяется кратчайший замкнутый путь, соединяющий заданное множество, которое состоит из <tex> N </tex> точек на плоскости.
| + | #перенаправление [[Гамильтоновы графы]] |
| − | | |
| − | == Формулировка задачи: ==
| |
| − | Коммивояжер должен посетить <tex> N </tex> городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей?
| |
| − | | |
| − | == Представление: ==
| |
| − | | |
| − | Чтобы использовать математические процессы для решения, реальная ситуация должна отображаться сначала простой моделью. Задачу коммивояжера можно смоделировать с помощью графа. При этом вершины можно считать городами, в то время как каждая дуга <tex>(i, j) </tex> описывает связь между этими 2 вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Каждая дуга имеет свой вес <tex> с(i, j) </tex>. Поездка (также цикл Гамильтона) - это цикл в этом графе, который проходит через каждую вершину ровно один раз. Целью является найти более короткую поездку.
| |
| − | | |
| − | == Варианты решения: ==
| |
| − | | |
| − | Можно предположить, что для решения задачи необходимо просто сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин полного графа,подсчитать для перестановки длину маршрута и выбрать минимальный. Но тогда задача оказывается неосуществимой для достаточно небольших <tex>N</tex>.
| |
| − | | |
| − | Так же известно, что задача о коммивояжере относится к NP-полным задачам.
| |
| − | | |
| − | == Динамическое программирование по подмножествам ==
| |
| − | | |
| − | Задача о коммивояжере сводится к поиску кратчайшего гамильтонова пути в графе.
| |
| − | | |
| − | Смоделируем данную задачу при помощи графа. При этом вершины можно считать городами, а ребра - дорогами. Пусть в графе <tex> P = (V, E)</tex> <tex> N </tex>
| |
| − | вершин и каждое ребро <tex>(i, j) \in E </tex> имеет некоторый вес <tex> d(i, j)</tex>. Необходимо найти гамильтонов путь, сумма весов по ребрам которого минимальна.
| |
| − | | |
| − | Пусть множество элементов занумеровано и закодировано последовательностью битов длины <tex> N </tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex> bit(i, pos) </tex> - <tex>i</tex>-й бит последовательности pos
| |
| − | | |
| − | <tex> count(pos)</tex> - количество битов 1 в последовательности pos
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex> dp[pos][i] </tex> обозначает длину кратчайшего гамильтонова пути подмножества вершин <tex>pos </tex>, заканчивающегося в вершине <tex> i </tex>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Динамика считается по следующим соотношениям:
| |
| − | | |
| − | <tex> dp[pos][i] = 0 </tex>, если <tex> count(pos) = 1</tex> и <tex> bit(i, pos) = 1</tex>;
| |
| − | | |
| − | <tex> dp[pos][i] = min_{bit(j, pos)=1,(j, i)\in E} \begin{Bmatrix} dp[pos xor 2^i][j]+d(j, i) \end{Bmatrix}</tex>, если <tex> count(pos) > 1 </tex> и <tex> bit(i, pos) = 1</tex>;
| |
| − | | |
| − | <tex>dp[pos][i] = \mathcal {1} </tex> во всех остальных случаях.
| |
| − | | |
| − | Теперь искомая минимальная длина пути <tex> p_{min} = min_{i \in [0...n-1]}\begin{bmatrix}dp[2^n - 1][i] \end{bmatrix}
| |
| − | </tex>. Если <tex> p_{min} = \mathcal {1} </tex>, то гамильтонова пути в графе, нет. Восстановить сам путь несложно. Пусть минимальный путь заканчивается в вершине <tex>i</tex>. Тогда <tex> j ≠ i</tex>, для которого , является предыдущей вершиной пути. Теперь удалим <tex>i</tex> из множества и только что описанным способом найдем вершину предыдущую к <tex>j</tex>. Продолжая процесс пока не останется одна вершина, мы найдем весь гамильтонов путь.
| |
| − | | |
| − | Данное решение требует O(2nn) памяти и O(2nn2) времени.
| |
