|
|
| (не показано 87 промежуточных версий 9 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | Задача о коммивояжере (англ. ''travelling-salesman problem'') - это задача, в которой определяется кратчайший замкнутый путь, соединяющий заданное множество, которое состоит из <tex> N </tex> точек на плоскости.
| + | #перенаправление [[Гамильтоновы графы]] |
| − | | |
| − | == Формулировка задачи ==
| |
| − | Коммивояжер должен посетить <tex> N </tex> городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей?
| |
| − | | |
| − | == Представление ==
| |
| − | | |
| − | Чтобы использовать математические процессы для решения, реальная ситуация должна отображаться сначала простой моделью. Задачу коммивояжера можно смоделировать с помощью графа. При этом вершины можно считать городами, в то время как каждая дуга <tex>(i, j) </tex> описывает связь между этими 2 вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Каждая дуга имеет свой вес <tex> с(i, j) </tex>. Поездка - это цикл в этом графе, который проходит через каждую вершину ровно один раз. Целью является найти более короткую поездку.
| |
| − | | |
| − | == Варианты решения ==
| |
| − | | |
| − | ==== Решение перебором ====
| |
| − | | |
| − | Можно предположить, что для решения задачи необходимо просто сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин полного графа,подсчитать для перестановки длину маршрута и выбрать минимальный. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших <tex>N</tex>.
| |
| − | | |
| − | Так же известно, что задача о коммивояжере относится к NP-полным задачам.
| |
| − | | |
| − | ==== Динамическое программирование по подмножествам ====
| |
| − | | |
| − | Задача о коммивояжере сводится к поиску кратчайшего гамильтонова пути в графе.
| |
| − | | |
| − | Смоделируем данную задачу при помощи графа. При этом вершины можно считать городами, а ребра - дорогами. Пусть в графе <tex> P = (V, E)</tex> <tex> N </tex>
| |
| − | вершин и каждое ребро <tex>(i, j) \in E </tex> имеет некоторый вес <tex> d(i, j)</tex>. Необходимо найти гамильтонов путь, сумма весов по ребрам которого минимальна.
| |
| − | | |
| − | Пусть множество элементов занумеровано и закодировано последовательностью битов длины <tex> N </tex>. Элементами множества будут являться вершины графа. Для простоты мы будем считать, что граф является неориентированным.
| |
| − | | |
| − | <tex> bit(i, pos) </tex> - <tex>i</tex>-й бит последовательности <tex>pos</tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex> count(pos)</tex> - количество битов <tex>1</tex> в последовательности <tex>pos</tex>.
| |
| − | | |
| − | Если <tex>i</tex>-й бит последовательности равен <tex>1</tex>, то <tex>i</tex>-й элемент входит в подмножество, иначе - нет.
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex> dp[pos][i] </tex> обозначает длину кратчайшего гамильтонова пути подмножества вершин <tex>pos </tex>, заканчивающегося в вершине <tex> i </tex>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Динамика считается по следующим соотношениям:
| |
| − | | |
| − | <tex> dp[pos][i] = 0 </tex>, если <tex> count(pos) = 1</tex> и <tex> bit(i, pos) = 1</tex>;
| |
| − | | |
| − | <tex> dp[pos][i] = min_{bit(j, pos)=1,(j, i)\in E} \begin{Bmatrix} dp[pos \oplus 2^i][j]+d(j, i) \end{Bmatrix}</tex>, если <tex> count(pos) > 1 </tex> и <tex> bit(i, pos) = 1</tex>;
| |
| − | | |
| − | <tex>dp[pos][i] = \mathcal {1} </tex> во всех остальных случаях.
| |
| − | | |
| − | Теперь искомая минимальная длина пути <tex> p_{min} = min_{i \in [0...n-1]}\begin{bmatrix}dp[2^n - 1][i] \end{bmatrix}
| |
| − | </tex>. Если <tex> p_{min} = \mathcal {1} </tex>, то гамильтонова пути в графе, нет. Восстановить сам путь несложно. Пусть минимальный путь заканчивается в вершине <tex>i</tex>. Тогда <tex> j \neq i</tex>, для которого <tex> dp[2^n - 1][i] = dp[2^n - 1 \oplus 2^i][j] + d(j, i) </tex> , является предыдущей вершиной пути. Теперь удалим <tex>i</tex> из множества и только что описанным способом найдем вершину предыдущую к <tex>j</tex>. Продолжая процесс пока не останется одна вершина, мы найдем весь гамильтонов путь.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Данное решение требует <tex>O(2n^n)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени.
| |
| − | | |
| − | == Источники ==
| |
| − | ''И.В.Романовский'' - Дискретный анализ;
| |
| − | | |
| − | ''Корман, Риверст, Лейзерсон, Штайн'' - Алгоритмы: построение и анализ;
| |
| − | | |
| − | [http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_коммивояжёра Задача коммивояжёра]
| |
| − | | |
| − | [http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden Problem_des_Handlungsreisenden];
| |
| − | | |
| − | [http://codeforces.ru/blog/entry/337 Динамика по подмножествам и маршруты в графах];
| |
