Список заданий по ТВС 2017

<wikitex>

1. Задание 1 с практики 1
2. Задание 2 с практики 1
3. Задание 3 с практики 1
4. Задание 4 с практики 1
5. Задание 5 с практики 1
6. Задание 6 с практики 1
7. Докажите, что язык простых чисел принадлежит $NP$. Указание: использовать без доказательства следующие факты. Число $p$ является простым, тогда и только тогда, когда существует первообразный корень по модулю $p$: число $g$, такое что $g^{p-1} \equiv 1 \pmod p$, $g^k \not\equiv 1 \pmod p$ для $1 \le k < p-1$. Число $g$ является первообразным корнем по модулю $p$ тогда и только тогда, когда $g^{p-1} \equiv 1 \pmod p$, $g^{\frac{p-1}{q}} \not\equiv 1 \pmod p$ для всех $q$ - простых делителей $p - 1$.
8. Факторизация. Рассмотрим факторизацию $n = p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$, где $p_1 \le p_2 \le \ldots \le p_k$ - простые числа. Закодируем последовательность $p_1, p_2, \ldots, p_k$ следующим образом. Запишем последовательно двоичные записи $p_1, \ldots, p_k$, удвоим каждый бит в записи и разделим их строками 01. Получим код $f(n)$. Например, для $15=3\cdot 5$ получим $3_{10} = 11_2$, $5_{10}=101_2$, код для последовательности $111101110011$. Докажите, что язык $\{\langle n, f(n) \rangle\}$ принадлежит $NP$.
9. Докажите, что язык $\{\langle n, i, b_i \rangle,$ где $b_i$ - $i$-й бит факторизации $f(n)\}$ принадлежит $NP$.
10. В определении класса $NP$ на языке недетерминированных программ требуется, чтобы в любой ветке развития программа работала не более полинома. Покажите, что это несущественно и можно дать такое определение $NP$: $NP$ - класс языков, для которых существует недетерминированная программа, распознающая принадлежность языку, причем в случае допуска существует хотя бы одна последовательность недетерминированных выборов, приводящая к допуску, такая что время работы ограничено полиномом.
11. Обозначим как $PS$ множество всех языков, разрешимых с полиномиальной памятью. Докажите, что $NP \subset PS$.
12. Обозначим как $EXP$ множество всех языков, разрешимых за время $2^{p(n)}$, где $p(n)$ - некоторый полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.

</wikitex>