Участница:Katyatitkova/Матан

Определения

Упорядоченная пара

Определение:

Упорядоченная пара — двухэлементное семейство, где множеством индексов является [math] \{ 1, 2 \} [/math].

Декартово произведение

Определение:

Декартовым или прямым произведением множеств [math] X [/math] и [math] Y [/math] называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первый элемент пары принадлежит [math] X [/math], а второй — [math] Y [/math]: [math] X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \} [/math]

Операции над множествами

Определение:

Пусть [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] — семейство множеств. Объединением семейства [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств [math] X_{\alpha} [/math]: [math] \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \{ x: \exists \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} [/math]

Определение:

Пусть [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] — семейство множеств. Пересечением семейства [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] называется множество всех элементов, которые принадлежат каждому из множеств [math] X_{\alpha} [/math]: [math] \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \{ x: \forall \alpha \in A \ x \in X_{\alpha} \} [/math]

Определение:

Разностью множеств [math] X [/math] и [math] Y [/math] называется множество всех элементов, которые принадлежат [math] X [/math], но не принадлежат [math] Y [/math]: [math] X \backslash Y = \{ x: x \in X, x \not\in Y \} [/math]

Пополненное множество вещественных чисел, операции и порядок в нем

Определение:

Множество [math] \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, + \infty \} [/math] называется расширенной числовой прямой.

• [math] - \infty \lt + \infty [/math]
• [math] + \infty \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty [/math]
• [math] + \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty [/math]
• [math] - \infty \cdot \left ( - \infty \right ) = + \infty [/math]

Для [math] \forall x \in \mathbb{R} [/math]:

• [math] - \infty \lt x \lt + \infty [/math]
• [math] x + x = 2x [/math]
• [math] x + \infty = + \infty [/math]
• [math] x - \infty = - \infty [/math]
• [math] + \infty + \infty = + \infty [/math]
• [math] + \infty - \infty = \ :( [/math]
• [math] - \infty - \infty = - \infty [/math]

Для [math] \forall x \gt 0, x \in \mathbb{R} [/math]:

• [math] x \cdot x = x^2 [/math]
• [math] x \cdot \left ( + \infty \right ) = + \infty [/math]
• [math] x \cdot \left ( - \infty \right ) = - \infty [/math]

Подмножество в R, ограниченное сверху

Определение:

Множество [math] E \subset \mathbb{R} [/math] называется ограниченным сверху, если существует такое число [math] M \in \mathbb{R} [/math], что [math] x \leqslant M [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Число [math] M [/math] называется верхней границей множества.

Определение:

Множество [math] E \subset \mathbb{R} [/math] называется ограниченным снизу, если существует такое число [math] m \in \mathbb{R} [/math], что [math] x \geqslant m [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Число [math] m [/math] называется нижней границей множества.

Определение:

Множество [math] E \subset \mathbb{R} [/math] называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу.

Максимальный элемент множества

Определение:

Число [math] M [/math] называется максимумом или наибольшим элементом множества [math] E \subset \mathbb{R} [/math], если [math] M \in E [/math] и [math] x \leqslant M [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Обозначается [math] \max E [/math].

Определение:

Число [math] m [/math] называется минимумом или наименьшим элементом множества [math] E \subset \mathbb{R} [/math], если [math] m \in E [/math] и [math] x \geqslant m [/math] для всех [math] x \in E [/math]. Обозначается [math] \min E [/math].

Последовательность

Определение:

Отображение множества натуральных чисел [math] \mathbb{N} [/math] в множество [math] Y [/math] называется последовательностью в [math] Y [/math] Обозначается как [math] \{ x_n \} [/math].

Образ и прообраз множества при отображении

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y, \ A \subset X [/math]. Множество [math] f(A) = \{ y \in Y: \exists x \in A \ f(x) = y \} [/math] называется образом множества [math] A [/math] при отображении [math] f [/math].

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y, \ B \subset Y [/math]. Множество [math] f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} [/math] называется прообразом множества [math] B [/math] при отображении [math] f [/math].

Инъекция, сюръекция, биекция

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Если [math] f(X) = Y [/math], то отображение [math] f [/math] называется сюръективным, или сюръекцией, или отображением "на".

Иными словами: [math] f(x) = y [/math] имеет хотя бы одно решение в [math] X [/math].

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Если для любых различных элементов [math] X [/math] их образы различны, то отображение [math] f [/math] называется инъективным, или инъекцией, или обратимым отображением.

Иными словами: [math] f(x) = y [/math] имеет не более одного решения в [math] X [/math].

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Если отображение [math] f [/math] одновременно инъективно и суръективно, то оно называется биективным, или биекцией, или взаимно-однозначным отображением (соответствием).

Иными словами: [math] f(x) = y [/math] имеет ровно одно решение в [math] X [/math].

Целая часть числа

Пусть [math]x \in \mathbb R[/math]. Наибольшее целое число, не превосходящее [math]x[/math], называется целой частью [math]x[/math] и обозначается [math][x][/math].

Векторнозначаная функция

Определение:

Векторозначная функция (вектор-функция) — отображение [math] f [/math] из [math] X [/math] в [math] \mathbb{R} ^m [/math] или [math] \mathbb{C} ^m [/math].

Координатная функция

Определение:

Отображение [math] f_k [/math] из [math] X [/math] в [math] \mathbb{R} [/math] или [math] \mathbb{C} [/math], которое каждому элементу [math] x [/math] сопоставляет число [math] f_k (x) [/math], называют k-ой координатной функцией отображения [math] f \left ( k \in \left [ 1 \ : \ m \right ] \right ) [/math] и пишут [math] f = (f_1, ..., f_m) [/math].

График отображения

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y [/math]. Графиком отображения [math] f [/math] называется множество [math] \Gamma_f = \{ \left ( x, y \right ) : x \in X, y = f(x) \} [/math]

Композиция отображений

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y [/math], [math] g: Y_0 \ \to \ Z [/math], [math] f(X) \subset Y_0 [/math]. Отображение [math] h: X \ \to \ Z [/math], действующее по правилу [math] h(x) = g(f(x)), \ x \in X [/math] называется композицией или суперпозицией отображений [math] f [/math] и [math] g [/math], а также сложным отображением и обозначается [math] g \circ f [/math]. При этом [math] g [/math] называется внешним, а [math] f [/math] — внутренним отображением.

Сужение и продолжение отображений

Определение:

Пусть [math] f: X \to Y [/math], [math] X_0 \subset X [/math]. Отображение, которое каждому [math] x \in X_0 [/math] сопоставляет [math] f(x) [/math], называется сужением отображения [math] f [/math] на множество [math] X_0 [/math] и обозначается [math] f | _{X_0} [/math]. Если отображение [math] g [/math] есть сужение отображения [math] f [/math], то [math] f [/math] называется продолжением, распространением или расширением [math] g [/math].

Предел последовательности (эпсилон-дельта определение)

Определение:

Пусть [math] \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность вещественных чисел. Число [math] a \in \mathbb{R} [/math] называют пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math] и пишут [math] \lim_{n \to \infty}x_n [/math] , если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такой положительный номер [math] N [/math], что для всех номеров [math] n [/math], больших [math] N [/math], выполняется равенство [math] \left | x_n - a \right | \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n \gt N \ \left | x_n - a \right | \lt \varepsilon [/math]

Определение:

Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность в [math] X [/math]. Точку [math] a \in X [/math] называют пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math] и пишут [math] \lim_{n \to \infty}x_n [/math], если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такой номер [math] N [/math], что для всех номеров [math] n [/math], больших [math] N [/math], выполняется равенство [math] \rho(x_n, a) \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N}: n \gt N \ \rho(x_n, a) \lt \varepsilon [/math]

Предел последовательности (определение на языке окрестностей)

Определение:

Интервал [math] \left ( a - \varepsilon, a + \varepsilon \right ) [/math] называется [math] \varepsilon [/math]-окрестностью точки [math] a [/math] и обозначается [math] V_{\alpha} (\varepsilon) [/math] или [math] V_{\alpha} [/math], если значение [math] \varepsilon [/math] несущественно.

Определение:

Число [math] a [/math] называется пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math], если для любой окрестности точки [math] a [/math] все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат этой окрестности.

Метрика, метрическое пространство, подпространство

Определение:

Функция [math] \rho: X \times X \to \mathbb{R}_{+} [/math] называется метрикой или расстоянием в множестве [math] X [/math], если она удовлетворяет следующим условиям: [math] \rho (x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y, \ x, y \in X [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x), \ x, y \in X [/math] [math] \rho (x, z) \leqslant \rho (x, y) + \rho (y, z), \ x, y, z \in X [/math]

Определение:

Пара [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — множество с метрикой в нём — называется метрическим пространством.

Определение:

Пусть [math] Y \subset X [/math], [math] \rho [/math] — метрика в [math] X [/math]. Метрическое пространство [math] \left ( Y, \rho | _{Y \times Y} \right ) [/math] называется подпространством метрического пространства [math] \left ( X, \rho \right ) [/math].

Шар, замкнутый шар, окрестности в R с чертой

Определение:

Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] a \in X [/math], [math] r \gt 0 [/math]. Множество [math] B(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \lt r \} [/math] называется открытым шаром радиуса [math] r [/math] с центром в точке [math] a [/math], или окрестностью ([math] r [/math]-окрестностью) точки [math] a [/math] и обозначается ещё [math] V_{a}(r) [/math] или [math] V_a [/math], если значение [math] r [/math] несущественно. Множество [math] \bar{B}(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) \leqslant r \} [/math] называется замкнутым шаром, а множество [math] S(a, r) = \{ x \in X: \rho(x, a) = r \} [/math] — сферой радиуса [math] r [/math] с центром в точке [math] a [/math].

Векторное пространство

Определение:

Пусть [math] K [/math] — поле, [math] X [/math] — множество, и над элементами [math] X [/math] и [math] K [/math] определены две операции: сложение [math] X \times X \overset{+}{\to} X [/math] и умножение [math] K \times X \overset{\cdot}{\to} X [/math], удовлетворяющие следующим условиям: [math] (x + y) + z = x + (y + z), \ x, y, z \in X [/math] [math] x + y = y + x, \ x, y \in X [/math] [math] \exists \theta \in X \ \forall x \in X \ 0 \cdot x = \theta [/math] [math] ( \lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x, \ x \in X, \lambda, \mu \in K [/math] [math] \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y, \ x, y \in X, \lambda \in K [/math] [math] (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu x), \ \ x \in X, \lambda, \mu \in K [/math] [math] 1 \cdot x = x, \ x \in X [/math] Тогда [math] X [/math] называется векторным пространством или линейным множеством над полем [math] K [/math]

Норма

Определение:

Пусть [math] X [/math] — векторное пространство над [math] \mathbb{R} [/math] или [math] \mathbb{C} [/math]. Нормой в [math] X [/math] называется функция [math] p: X \to \mathbb{R}_{+} [/math], удовлетворяющая следующим условиям: Положительная определённость: [math] p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta [/math] Положительная однородность: [math] p(\lambda x) = \left | \lambda \right | p(x) [/math] Неравенство треугольника (полуаддитивность): [math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y) [/math]. Обозначается как [math] p(x) = \left \Vert x \right \Vert [/math]. Пара [math] \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) [/math] называется нормированным пространством. Если функция [math] p: X \to \mathbb{R}_{+} [/math] удовлетворяет аксиомам 2 и 3, то [math] p [/math] называется полунормой.

Скалярное произведение

Определение:

Пусть [math] X [/math] — векторное пространство над [math] \mathbb{R} [/math] или [math] \mathbb{C} [/math]. Функция [math] \varphi: X \times X \to \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math] называется скалярным произведением в [math] X [/math] (обозначение: [math] \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) [/math], если она удовлетворяет следующим свойствам: Линейность по первому аргументу: для всех [math] x_1, x_2, y \in X [/math] и всех [math] \lambda, \mu \in \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math]) [math] \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) [/math] Эрмитовская симметричность: [math] \left ( y, x \right ) = \overline{\left ( x, y \right )} [/math] (в вещественном случае черту можно опустить) Положительная определённость: [math] \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta [/math]

Свойства скалярного произведения:

1. [math] \left ( x, y_1 + y_2 \right ) = \left ( x, y_1 \right ) + \left ( x, y_2 \right ) [/math]
2. [math] \left ( x, \lambda y \right ) = \bar{\lambda} \left ( x, y \right ) [/math]
3. [math] \left ( \theta, y \right ) = \left ( x, \theta \right ) = 0 [/math]

Последовательность, сходящаяся к бесконечности

Определение:

Последовательность, стремящаяся к бесконечности, называется бесконечно большой.

Верхняя, нижняя границы; супремум, инфимум

Определение:

Пусть [math] E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing [/math], [math] E [/math] ограничено сверху. Наименьшая из верхних границ множества [math] E [/math] называется точной верхней границей, или верхней гранью, или супремумом множества [math] E [/math] и обозначается [math] \sup E [/math].

Определение:

Пусть [math] E \subset \mathbb{R}, \ E \neq \varnothing [/math], [math] E [/math] ограничено снизу. Наибольшая из нижних границ множества [math] E [/math] называется точной нижней границей, или нижней гранью, или инфимумом множества [math] E [/math] и обозначается [math] \inf E [/math].

Функция ограниченная сверху, снизу

Определение:

Функция называется ограниченной (сверху, снизу) на множестве [math] D [/math], если множество [math] f(D) [/math] ограничено (сверху, снизу).

Строго и не строго монотонная функция

Определение:

Пусть [math] D \subset X \subset \mathbb{R} [/math]. Функция [math] f: X \to \mathbb{R} [/math] называется: возрастающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \leqslant f(x_2) [/math]; строго возрастающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \lt f(x_2) [/math]; убывающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \geqslant f(x_2) [/math] строго убывающей на множестве [math] D [/math], если для любых [math] x_1, x_2 [/math] из [math] D [/math] таких, что [math] x_1 \lt x_2 [/math], будет [math] f(x_1) \gt f(x_2) [/math].

Внутренняя точка множества, открытое множество, внутренность

Определение:

Точка [math] a [/math] называется внутренней точкой множества [math] D [/math], если существует окрестность точки [math] a [/math], содержащаяся в [math] D [/math].

Определение:

Множество [math] D [/math] называется открытым, если все его точки внутренние.

Определение:

Множество всех внутренних точек множества [math] D [/math] называется внутренностью [math] D [/math] и обозначается [math] \overset{\circ}{D} [/math] или [math] Int D [/math].

Предельная точка множества

Определение:

Точка [math] a [/math] называется предельной точкой или точкой сгущения множества [math] D [/math], если в любой окрестности точки [math] a [/math] найдётся точка множества [math] D [/math], отличная от [math] a [/math].

Замкнутое множество, замыкание, граница

Определение:

Если точка [math] a [/math] принадлежит множеству [math] D [/math], но не является его предельной точкой, то [math] a [/math] называется изолированной точкой множества [math] D [/math].

Определение:

Множество [math] D [/math] называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение:

Точка [math] a [/math] называется точкой прикосновения множества [math] D [/math], если в любой окрестности точки [math] a [/math] найдётся точка множества [math] D [/math].

Определение:

Множество всех точек прикосновения множества [math] D [/math] называется замыканием [math] D [/math] и обозначается [math] \bar{D} [/math] или [math] Cl D [/math].

Определение:

Точка [math] a [/math] называется граничной точкой множества [math] D [/math], если в любой окрестности [math] a [/math] найдётся как точка, принадлежащая [math] D [/math], так и точка, не принадлежащая [math] D [/math]. Множество всех граничных точек множества [math] D [/math] называется границей [math] D [/math] и обозначается [math] Fr D [/math].

Верхний и нижний пределы

Определение:

Пусть последовательность [math] \{ x_n \} [/math] ограничена сверху. Величина [math] \overline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\sup} x_k [/math] называется верхним пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math].

Определение:

Пусть последовательность [math] \{ x_n \} [/math] ограничена снизу. Величина [math] \underline{\underset{n \to \infty}{\lim}} = \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k \geqslant n}{\inf} x_k [/math] называется нижним пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math].

Частичный предел

Определение:

Точка [math] a [/math] называется частичным пределом последовательности [math] \{ x_n \} [/math], если существует подпоследовательность [math] \{ x_{n_k} \} [/math], стремящаяся к [math] a [/math].

Определения предела отображения (3 шт)

Определение:

Пусть [math] \left ( X, \rho_x \right ) [/math], [math] \left ( Y, \rho_y \right ) [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a \in X [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] A \in Y [/math]. Точку [math] A [/math] называют пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] и пишут [math] \underset{x \to a}{\lim} f(x) = A [/math], если выполняется одно из следующих утверждений: Определение на [math] \varepsilon [/math]-языке, или по Коши. Для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для всех точек [math] x [/math] множества [math] D [/math], отличных от [math] a [/math] и удовлетворяющих неравенству [math] \rho_X (x, a) \lt \delta [/math], выполняется неравенство [math] \rho_Y (f(x), A) \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall x \in D \backslash \{ a \} : \ \rho_X (x, a) \lt \delta \ \rho_Y (f(x), A) \lt \varepsilon [/math]. Определение на языке окрестностей. Для любой окрестности [math] V_A [/math] точки [math] A [/math] существует такая окрестность [math] V_a [/math] точки [math] a [/math], что образ пересечения проколотой окрестности [math] V_a [/math] с множеством [math] D [/math] при отображении [math] f [/math] содержится в окрестности [math] V_A [/math]: [math] \forall V_A \ \exists V_a \ f(V_a \cap D) \subset V_A [/math]. Определение на языке последовательностей, или по Гейне. Для любой последовательности [math] \{ x_n \} [/math] точек множества [math] D [/math], отличных от [math] a [/math], стремящейся к [math] a [/math], последовательность [math] \{ f(x_{n}) \} [/math] стремится к [math] A [/math]: [math] \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D \backslash \{ a \} , x_n \to a \ f(x_{n}) \to A [/math].

Предел по множеству

Определение:

Пусть [math] f: D \subset X \to Y, \ D_1 \subset D [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D_1 [/math]. Предел [math] \underset{x \to a}{\lim} f | _{D_1} (x) [/math] называется пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] по множеству [math] D_1 [/math].

Односторонние пределы

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} [/math]. Если [math] a [/math] — предельная точка множества [math] D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) [/math], то предел отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] по множеству [math] D_1 [/math] называется левосторонним пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] и обозначается [math] \underset{x \to a-0}{\lim} f(x) [/math] или [math] f(a-0) [/math]. Если [math] a [/math] — предельная точка множества [math] D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) [/math], то предел отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] по множеству [math] D_2 [/math] называется правосторонним пределом отображения [math] f [/math] в точке [math] a [/math] и обозначается [math] \underset{x \to a+0}{\lim} f(x) [/math] или [math] f(a+0) [/math].

Компактное множество

Определение:

Семейство множеств [math] \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} [/math] называется покрытием множества [math] K [/math], если [math] K \subset \underset{\alpha \in A}{\bigcup} G_{\alpha} [/math].

Определение:

Пусть [math] \left ( X, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] K \subset X [/math]. Покрытие [math] \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} [/math] множества [math] K [/math] называется компактным, если из любого открытого покрытия [math] K [/math] можно извлечь конечное подпокрытие

Фундаментальная последовательность

Определение:

Пусть [math] \{ x_n \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность в метрическом пространстве [math] X [/math]. Говорят, что последовательность [math] \{ x_n \} [/math] сходится в себе, если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такой номер [math] N [/math], что для всех номеров [math] n [/math] и [math] l [/math], больших [math] N [/math], выполняется неравенство [math] \rho (x_n, x_l) \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \ \forall n, l \gt N \ \rho (x_n, x_l) \lt \varepsilon [/math] Сходящуюся в себе последовательность также называют последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью.

Полное метрическое пространство

Определение:

Пространство [math] \mathbb{R}^m [/math] полно [math] \Longleftrightarrow [/math] в [math] \mathbb{R}^m [/math] любая сходящаяся в себе последовательность сходится.

Непрерывное отображение

Определение:

Пусть [math] \left ( X, \rho_X \right ) [/math] и [math] \left ( Y, \rho_Y \right ) [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y, \ x_0 \in D [/math]. Отображение [math] f [/math] называется непрерывным в точке [math] x_0 [/math], если выполняется одно из следующих утверждений: Предел отображения [math] f [/math] в точке [math] x_0 [/math] существует и равен [math] f(x_0 ) [/math]. Это определение применимо, если [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math]. По Коши: для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для всех точек [math] x [/math] множества [math] D [/math], удовлетворяющих неравенству [math] \rho_X (x, x_0) \lt \delta [/math], выполняется неравенство [math] \rho_Y (f(x), f(x_0)) \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall x \in D: \rho_X (x, x_0) \lt \delta \ \rho_Y (f(x), f(x_0)) \lt \varepsilon [/math]. На языке окрестностей: для любой окрестности [math] V_{f(x_0)} [/math] точки [math] f(x_0) [/math] существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что образ пересечения окрестности [math] V_{x_0} [/math] с множеством [math] D [/math] содержится в окрестности [math] V_{f(x_0)} [/math]: [math] \forall V_{f(x_0)} \ \exists V_{x_0} \ f \left ( V_{x_0} \cap D \right ) \subset V_{f(x_0)} [/math]. По Гейне: для любой последовательности [math] \left \{ x_n \right \} [/math] точек множества [math] D [/math], стремящейся к [math] x_0 [/math], последовательность [math] \left \{ f(x_n) \right \} [/math] стремится к [math] f(x_0) [/math]: [math] \forall \{ x_n \} : \ x_n \in D, x_n \to x_0 \ f(x_n) \to f(x_0) [/math]. Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение отображения: [math] \Delta y \underset{\Delta x \to \theta x}{\to} \theta_Y [/math].

Непрерывность слева

Определение:

Пусть [math] Y [/math] — метрическое пространство, [math] f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ x_0 \in D [/math]. Если сужение отображения [math] f [/math] на множество [math] E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] [/math] ([math] E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )[/math] непрерывно в точке [math] x_0 [/math], то говорят, что отображение [math] f [/math] непрерывно слева (справа) в точке [math] x_0 [/math].

Функция равномерно непрерывная на множестве

Определение:

Функция [math] f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/math] называется равномерно непрерывной на множестве [math] D [/math], если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для всех точек [math] \bar{x}, \bar{\bar{x}} [/math] множества [math] D [/math], удовлетворяющих неравенству [math] \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | \lt \delta [/math], выполняется неравенство [math] \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in D: \left | \bar{x} - \bar{\bar{x}} \right | \lt \delta \ \left | f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) \right | \lt \varepsilon [/math].

Степенная функция

[math] e_{\alpha} (x) = x^{\alpha} [/math]

Показательная функция

Определение:

Пусть [math] a \gt 0, x \in \mathbb{R} [/math]. Положим [math] a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} [/math]. При [math] a \gt 0, \ a \neq 1 [/math] функция [math] a^x, \ x \in {\mathbb{R}} [/math] называется показательной функцией с основанием [math] a [/math].

Логарифм

Определение:

Пусть [math] a \gt 0, a \neq 1 [/math]. Функция, обратная к показательной с основанием [math] a [/math], называется логарифмом по основанию [math] a [/math].

О большое и o маленькое, эквивалентные функции или асимптотически равные функции

Определение:

Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] D \subset X, \ f, g: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) [/math], [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math]. Если существует функция [math] \varphi: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) [/math] и окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], такие, что [math] f(x) = \varphi (x) g(x) [/math] для всех [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math] и [math] \varphi [/math] ограничена на [math] V_{x_0} \cap D [/math], то говорят, что функция [math] f [/math] ограничена по сравнению с [math] g [/math] при [math] x \to x_0 [/math], и пишут [math] f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 [/math]; [math] \varphi (x) \to 0 [/math], то говорят, что функция [math] f [/math] бесконечно малая по сравнению с [math] g [/math] при [math] x \to x_0 [/math], и пишут [math] f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 [/math]; [math] \varphi (x) \to 1 [/math], то говорят, что функция [math] f [/math] эквивалентны или асимптотически равны при [math] x \to x_0 [/math], и пишут [math] f(x) \sim g(x), \ x \to x_0 [/math].

Наклонная асимптота графика

Определение:

Пусть [math] \left \langle a, + \infty \right ) \subset D \subset \mathbb{R}, \ f: D \to \mathbb{R}, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} [/math]. Прямая [math] y = \alpha x + \beta [/math] называется наклонной асимптотой функции [math] f [/math] при [math] x \to + \infty [/math], если [math] f(x) = \alpha x + \beta + o(1), \ x \to + \infty [/math].

Функция, дифференцируемая в точке

Определение:

Пусть [math] f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b \right \rangle [/math]. Если существует такое число [math] A \in \mathbb{R} [/math], что [math] f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 [/math], то функция [math] f [/math] называется дифференцируемой в точке [math] x_0 [/math]. При этом число [math] A [/math] называется производной функции [math] f [/math] в точке [math] x_0 [/math].

Определение:

Пусть [math] f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b \right \rangle [/math]. Если существует предел [math] \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math], равный числу [math] A \in \mathbb{R} [/math], то функция [math] f [/math] называется дифференцируемой в точке [math] x_0 [/math]. При этом число [math] A [/math] называется производной функции [math] f [/math] в точке [math] x_0 [/math].

Производная

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/math], [math] D_1 [/math] — множество дифференцируемости [math] f [/math] (множество всех точек [math] D [/math], где функция дифференцируема). Функция [math] f': D_1 \to \mathbb{R} [/math], которая каждому [math] x \in D_1 [/math] сопоставляет число [math] f'(x) [/math], называется производной функцией функции [math] f [/math].

[math] f'(x_0) = \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math]

Левостороняя и правосторонняя производные

Правосторонняя: [math] f'_{+} (x_0) = \underset{x \to x_{0+}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math]

Левосторонняя: [math] f'_{-} (x_0) = \underset{x \to x_{0-}}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} [/math]

Теоремы

Аксиомы вещественных чисел

I. Аксиомы поля

В множестве [math] \mathbb{R} [/math] определены две операции, называемые сложением и умножением, действующие из [math] \mathbb{R} \times \mathbb{R} [/math] в [math] \mathbb{R} [/math] и удовлетворяющие следующим свойствам:

1. Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: [math] (x + y) + z = x + (y + z) [/math]
2. Переместительный закон (коммутативность) сложения: [math] x + y = y + x [/math]
3. Существует вещественное число нуль ([math] 0 [/math], нейтральный элемент по сложению) такое, что [math] x + 0 = x [/math] для всех [math] x [/math]
4. Для любого числа [math] x [/math] существует такое число [math] \tilde{x} [/math], что [math] x + \tilde{x} = 0 [/math] (это число [math] \tilde{x} [/math] называется противоположным числу [math] x [/math] и обозначается [math] -x [/math])
5. Сочетательный закон (ассоциативность) умножения: [math] (xy)z = x(yz) [/math]
6. Переместительный закон (коммутативность) умножения: [math] xy = yx [/math]
7. Существует вещественное число единица ([math] 1 [/math], нейтральный элемент по умножению), отличное от нуля, такое, что [math] x \cdot 1 = x [/math] для всех [math] x [/math]
8. Для любого числа [math] x [/math] существует такое число [math] x' [/math], что [math] x \cdot x' = 1 [/math] (это число [math] x' [/math] называется обратным числу [math] x [/math] и обозначается [math] x^{-1} [/math] или [math] {1 \over x}) [/math]
9. Распределительный закон (дистрибутивность): [math] x(y + z) = xy + xz [/math]

II. Аксиомы порядка

Между элементами [math] \mathbb{R} [/math] определено отношение [math] \leqslant [/math] со следующими свойствами:

1. Для любых [math] x, y [/math] верно [math] x \leqslant y [/math] или [math] y \leqslant x [/math]
2. Транзитивность: если [math] x \leqslant y [/math] и [math] y \leqslant z [/math], то [math] x \leqslant z [/math]
3. Если [math] x \leqslant y [/math] и [math] y \leqslant x [/math], то [math] x = y [/math]
4. Если [math] x \leqslant y [/math], то [math] x + z \leqslant y + z [/math] для любого [math] z [/math]
5. Если [math] 0 \leqslant x [/math] и [math] 0 \leqslant y [/math], то [math] 0 \leqslant xy [/math]

III. Аксиома Архимеда

Утверждение:

Каковы бы ни были положительные числа [math] x, y \in \mathbb{R} [/math], существует натуральное число [math] n [/math] такое, что [math] nx \gt y [/math]

IV. Аксиома Кантора о вложенных отрезках

Утверждение:

Пусть [math] \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность вложенных отрезков, то есть [math] a_n \leqslant a_{n+1} \lt b_{n+1} \leqslant b_n [/math] для всех [math] n \in \mathbb{N} [/math]. Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам [math] \left [ a_n, b_n \right ] [/math], то есть [math] \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing [/math]

Законы де Моргана

Теорема (Де Моргана, законы):

Пусть [math] { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } [/math] — семейство множеств, [math] Y [/math] — множество. Тогда [math] Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) [/math] [math] Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) [/math] [math] Y \ \cap \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \cap \ X_{\alpha} \right ) [/math] [math] Y \ \cup \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \cup \ X_{\alpha} \right ) [/math]

Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли

Утверждение:

Пусть [math] \{ \mathcal{P}_n \}_{n = 1} ^{\infty} [/math] — последовательность утверждений. Если [math] \mathcal{P}_1 [/math] верно и для любого [math] n \in \mathbb{N} [/math] из [math] \mathcal{P}_n [/math] следует [math] \mathcal{P}_{n + 1} [/math], то [math] \mathcal{P}_n [/math] верно для всех [math] n \in \mathbb{N} [/math].

Теорема (Бенулли, неравенство):

light: [math] \forall x \gt -1, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx [/math] hard: [math] \forall x \gt 0, \forall n \in \mathbb{N} \left ( 1 + x \right ) ^n \geqslant 1 + nx + {{n(n - 1)} \over 2}x^2 [/math]

Аксиома Архимеда. Плотность множества рациональных чисел в R

Теорема (плотность множества рациональных чисел):

Во всяком интервале есть рациональное число.

Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел

Определение:

Множества [math] A [/math] и [math] B [/math] называют эквивалентными или равномощными и пишут [math] A [/math]~[math] B [/math], если существует биекция [math] \phi: A \to B [/math].

Определение:

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема:

Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Теорема:

Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Определение:

Пустое, конечное или счётное множество называется не более чем счётным.

Теорема:

Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно.

Теорема (счётность множества рациональных чисел):

Множество рациональных чисел счётно.

Несчетность отрезка

Теорема (несчётность отрезка):

Отрезок [math] \left [ 0, 1 \right ] [/math] несчётен.

Определение:

Если множество эквивалентно отрезку [math] \left [ 0, 1 \right ] [/math], то говорят, что оно имеет мощность континуума.

Единственность предела и ограниченность сходящейся последовательности

Теорема (единственность предела):

Последовательность в метрическом пространстве не может иметь более одного предела: если [math] x_n \to a [/math], а [math] x_n \to b [/math], то [math] a = b [/math].

Определение:

Подмножество [math] D [/math] метрического пространства [math] X [/math] называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре: [math] \exists a \in X, R \gt 0 \ D \subset \bar{B}(a, R) [/math].

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности):

Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема о сжатой последовательности

Теорема (о сжатой последовательности):

Пусть [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] и [math] \{ z_n \} [/math] — вещественные последовательности, [math] x_n \leqslant y_n \leqslant z_n [/math] при всех [math] n \in \mathbb{N} [/math], [math] a \in \mathbb{R} [/math], [math] \lim x_n = \lim z_n = a [/math]. Тогда предел [math] \{ y_n \} [/math] существует и равен [math] a [/math].

Бесконечно малая последовательность

Определение:

Последовательность вещественных или комплексных чисел называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.

Лемма:

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая: если [math] \{ x_n \} [/math] — бесконечно малая, а [math] \{ y_n \} [/math] — ограниченная, то [math] \{ x_{n} y_n \} [/math] — бесконечно малая.

Теорема об арифметических свойствах предела

Теорема (арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве):

Пусть [math] \left ( X, \left \Vert \cdot \right \Vert \right ) [/math] — нормированное пространство, [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] — последовательности в [math] X [/math], [math] \{ \lambda_n \} [/math] — числовая последовательность, [math] x_0, y_0 \in X, \ \lambda_0 \in \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math]), [math] x_n \to x_0, \ y_n \to y_0, \ \lambda_n \to \lambda_0 [/math]. Тогда [math] x_n + y_n \to x_0 + y_0 [/math] [math] \lambda_n y_n \to \lambda_0 y_0 [/math] [math] x_n - y_n \to x_0 - y_0 [/math] [math] \left \Vert x_n \right \Vert \to \left \Vert x_0 \right \Vert [/math]

Теорема (арифметические действия над сходящимися числовыми последовательностями):

Пусть [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] — числовые последовательности, [math] x_0, y_0 \in \mathbb{R} [/math] (или [math] \mathbb{C} [/math]), [math] x_n \to x_0, \ y_n \to y_0 [/math]. Тогда [math] x_n + y_n \to x_0 + y_0 [/math] [math] x_n y_n \to x_0 y_0 [/math] [math] x_n - y_n \to x_0 - y_0 [/math] [math] \left | x_n \right | \to \left | x_0 \right | [/math] Если, кроме того, [math] y_n \neq 0 [/math] при всех [math] n [/math] и [math] y_0 \neq 0 [/math], то [math] {x_n \over y_n} \to {x_0 \over y_0} [/math]

Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением

Теорема (Коши-Буняковского-Шварца, неравенство):

[math] \left | \left \lt x, y \right \gt \right | ^2 \leqslant \left \lt x, x \right \gt \left \lt y, y \right \gt [/math]

Теорема:

Функция [math] p(x) = \sqrt{\left \lt x, x \right \gt } [/math] — норма в [math] X [/math].

Теорема (Коши-Буняковского, неравенство):

[math] \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} x_k y_k \right ) ^2 \leqslant \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {x_k}^2 \right ) \left ( \underset{k = 1}{\overset{m}{\sum}} {y_k}^2 \right ) [/math]

Леммы о непрерывности скалярного произведения и покоординатной сходимости в R^n

Определение:

Говорят, что последовательность [math] \{ x^{(n)} \} [/math] точек в [math] \mathbb{R}^m [/math] сходится к пределу [math] x^{(0)} \in \mathbb{R}^m [/math] поокординатно, если [math] x_j ^{(n)} \underset{n \to \infty}{\to} x_j ^{(0)} [/math] для всех [math] j \in [1 : m] [/math].

Лемма:

В [math] \mathbb{R}^m [/math] покоординатная сходимость и сходимость по евклидовой норме равносильны.

Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (в R с чертой). Неопределенности

Теорема (арифметические действия с бесконечно большими):

Пусть [math] \{ x_n \} [/math], [math] \{ y_n \} [/math] — числовые последовательности. Если [math] x_n \to + \infty [/math], [math] y_n [/math] ограничена снизу, то [math] x_n + y_n \to + \infty [/math]. Если [math] x_n \to - \infty [/math], [math] y_n [/math] ограничена сверху, то [math] x_n + y_n \to - \infty [/math]. Если [math] x_n \to \infty [/math], [math] y_n [/math] ограничена, то [math] x_n + y_n \to \infty [/math]. Если [math] x_n \to \pm \infty [/math], [math] y_n \geqslant b \gt 0 [/math] для всех [math] n [/math] (или [math] y_n \to b_1 \gt 0 [/math]), то [math] x_n y_n \to \pm \infty [/math]. Если [math] x_n \to \pm \infty [/math], [math] y_n \leqslant b \lt 0 [/math] для всех [math] n [/math] (или [math] y_n \to b_1 \lt 0 [/math]), то [math] x_n y_n \to \mp \infty [/math]. Если [math] x_n \to \infty [/math], [math] \left | y_n \right | \geqslant b \gt 0 [/math] для всех [math] n [/math] (или [math] y_n \to b_1 \neq 0 [/math]), то [math] x_n y_n \to \infty [/math]. Если [math] x_n \to a \neq 0, \ y_n \to 0, \ y_n \neq 0 [/math] при всех [math] n [/math], то [math] {{x_n} \over {y_n}} \to \infty [/math]. Если [math] x_n \to a \in \mathbb{C}, \ y_n \to \infty [/math], то [math] {{x_n} \over {y_n}} \to 0 [/math]. Если [math] x_n \to \infty, \ y_n \to b \in \mathbb{C}, \ y_n \neq 0 [/math] при всех [math] n [/math], то [math] {{x_n} \over {y_n}} \to \infty [/math].

Неопределённости:

• [math] x_n \to + \infty, \ y_n \to - \infty, \ x_n + y_n \to ? [/math]
• [math] x_n \to 0, \ y_n \to \infty, \ x_n y_n \to ? [/math]
• [math] x_n \to 0, \ y_n \to 0 [/math], [math] {{x_n} \over {y_n}} \to ? [/math]
• [math] x_n \to \infty, \ y_n \to \infty [/math], [math] {{x_n} \over {y_n}} \to ? [/math]

Теорема о стягивающихся отрезках

Определение:

Говорят, что [math] \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} [/math] — последовательность стягивающихся отрезков, если [math] a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n [/math] при всех [math] n [/math] и [math] b_n - a_n \to 0 [/math].

Теорема (о стягивающихся отрезках):

Пусть [math] \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} [/math] — последовательность стягивающихся отрезков. Тогда пересечение всех отрезков [math] \left [ a_n, b_n \right ] [/math] состоит из одной точки, то есть [math] \exists c \in \mathbb{R}: \ \overset{n = 1}{\underset{\infty}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] = \{ c \} [/math], при этом [math] a_n \to c [/math] и [math] b_n \to c [/math].

Теорема о существовании супремума

Теорема (о существовании супремума):

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество [math] \mathbb{R} [/math] имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Лемма о свойствах супремума

Утверждение:

Если [math] D \subset E \subset \mathbb{R}, \ D \neq \varnothing [/math], то [math] \sup D \leqslant \sup E [/math], а [math] \inf D \geqslant \inf E [/math]. Если [math] E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} [/math], [math] \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} [/math], то [math] \sup (E + F) = \sup E + \sup F [/math] [math] \sup (tE) = t \sup E [/math] [math] \sup (-E) = - \inf E [/math] [math] \inf (E + F) = \inf E + \inf F [/math] [math] \inf (tE) = t \inf E [/math] [math] \inf (-E) = - \sup E [/math]

Теорема о пределе монотонной последовательности

Теорема (о пределе монотонной последовательности):

Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится. Всякая убывающая ограниченная снизу последовательность сходится. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.

Определение числа e, соответствующий замечательный предел

Определение:

Предел последовательности [math] \left \{ \left ( 1 + {1 \over n} \right ) ^n \right \} [/math] называют числом Непера или основанием натуральных логарифмов и обозначают буквой [math] e [/math].

Теорема о свойствах открытых множеств, внутренность множества

[искать в районе 50-ой страницы]

Свойства верхнего и нижнего пределов

Теорема (о верхнем и нижнем пределе):

Пусть [math] \{ x_n \} [/math] — вещественная последовательность. Тогда справедливы следующие утверждения: Верхний предел — наибольший, а нижний — наименьший из частичных пределов [math] \{ x_n \} [/math]. Предел [math] \{ x_n \} [/math] в [math] \overline{\mathbb{R}} [/math] существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы равны, при этом предел последовательности равен их общему значению.

Эквивалентность определений Гейне и Коши

Теорема:

Определения предела отображения по Коши и по Гейне равносильны.

Единственность предела, локальная ограниченность отображения, имеющего предел, теорема о стабилизации знака

Теорема (единственность предела):

Отображение в данной точке не может иметь более одного предела: если [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] A, B \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} B [/math], то [math] A = B [/math].

Теорема (локальная ограниченность отображения, имеющего предел):

Пусть [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] A \in Y, \ f(x) \underset{x \to a}{\to} A [/math]. Тогда существует такая окрестность [math] V_a [/math] точки [math] a [/math], что [math] f [/math] ограничено в [math] V_a \cap D [/math] (то есть [math] f(V_a \cap D [/math] содержится в некотором шаре пространства [math] Y [/math].

Арифметические свойства пределов

[уже было для последовательностей, то же самое]

Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве

Теорема (предельный переход в неравенстве для функици):

Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] f, g: D \subset X \to \mathbb{R} [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] f(x) \leqslant g(x) [/math] для всех [math] x \in D \backslash [/math]{[math]a[/math]}[math], \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} [/math], [math] f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B [/math]. Тогда [math] A \leqslant B [/math].

Теорема (о сжатой функции):

Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) [/math] для всех [math] x \in D \backslash [/math]{[math]a[/math]}[math], \ A \in \overline{\mathbb{R}} [/math], [math] f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A [/math]. Тогда и [math] g(x) \underset{x \to a}{\to} A [/math].

Теорема о пределе монотонной функции

Теорема (о пределе монотонной функции):

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ a \in \left ( - \infty, + \infty \right ) , \ D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D_1 [/math]. Если [math] f [/math] возрастает и ограничена сверху на [math] D_1 [/math], то существует конечный предел [math] f(a-) [/math]. Если [math] f [/math] убывает и ограничена снизу на [math] D_1 [/math], то существует конечный предел [math] f(a+) [/math].

Теорема о компактности в пространстве и в подпространстве

Теорема (компактность в пространстве и подпространстве):

Пусть [math] \left ( R, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] Y [/math] — подпространство [math] X [/math], [math] K \subset Y [/math]. Тогда свойства компактности [math] K [/math] в [math] X [/math] и [math] Y [/math] равносильны.

Простейшие свойства компактных множеств

Теорема (свойства компактов):

Пусть [math] \left ( R, \rho \right ) [/math] — метрическое пространство, [math] K \subset X [/math]. Если [math] K [/math] компактно, то [math] K [/math] замкнуто и ограничено. Если [math] X [/math] компактно, а [math] K [/math] замкнуто, то [math] K [/math] компактно.

Компактность замкнутого куба в R^m

Теорема (компактность замкнутого куба в R^m):

Замкнутый куб в [math] \mathbb{R} ^m [/math] компактен.

Теорема о характеристике компактов в R^m

Теорема (характеристика компактов в R^m):

Пусть [math] K \subset \mathbb{R}^m [/math]. Тогда следующие утверждения равносильны: [math] K [/math] замкнуто и ограничено. [math] K [/math] компактно. Из всякой последовательности точек [math] K [/math] можн извлечь подпоследовательность, имеющую предел, принадлежащий [math] K [/math].

Принцип выбора Больцано—Вейерштрасса

Теорема (Больцано-Вейерштрасса, принцип выбора):

Из всякой ограниченной последовательности в [math] \mathbb{R}^m [/math] можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость в себе и её свойства

Лемма (свойства сходимости в себе):

Сходящаяся в себе последовательность ограничена. Если у сходящейся в себе последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.

Теорема:

Во всяком метрическом пространстве любая сходящаяся последовательность сходится в себе. В [math] \mathbb{R}^m [/math] любая сходящаяся в себе последовательность сходится.

Критерий Коши для отображений

Теорема (Больцано-Коши, критерий для отображений):

Пусть [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] Y [/math] полно, [math] f: D \subset X \to Y [/math], [math] a [/math] — предельная точка [math] D [/math]. Тогда существование в точке [math] a [/math] предела [math] f [/math], принадлежащего [math] Y [/math], равносильно следующему утверждению: Для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такая окрестность [math] V_a [/math] точки [math] a [/math], что для любых двух точек [math] \bar{x} [/math] и [math] \bar{\bar{x}} [/math] множества [math] D [/math], принадлежащих проколотой окрестности [math] V_a [/math], выполняется неравенство [math] \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) \lt \varepsilon [/math]: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists V_a \forall \bar{x}, \bar{\bar{x}} \in V_a \cap D \ \rho_Y \left ( f(\bar{x}), f(\bar{\bar{x}} \right ) \lt \varepsilon [/math]

Свойства непрерывных отображений: арифметические, стабилизация знака, композиция

Теорема (арифметические действия над непрерывными отображениями):

Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] Y [/math] — нормированное пространство, [math] D \subset X, \ x_0 \in D [/math], отображения [math] f, g: D \to Y, \ \lambda: D \to \mathbb{R} \ \left ( \mathbb{C} \right ) [/math] непрерывны в точке [math] x_0 [/math]. Тогда отображения [math] f + g, \ f - g, \ \lambda f, \ \left \Vert f \right \Vert [/math] непрерывны в точке [math] x_0 [/math].

Теорема (о стабилизации знака):

Если функция [math] g: D \to \mathbb{R} [/math] непрерывна в точке [math] x_0 [/math], причём [math] g(x_0 ) \neq 0 [/math], то существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math], что [math] sign \ g(x) = sign \ g(x_0 ) [/math] для всех [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math].

Теорема (непрерывность композиции):

Пусть [math] X, Y, Z [/math] — метрические пространства, [math] F: D \subset X \to Y, \ g: E \subset Y \to Z, \ f(D) \in E [/math], [math] f [/math] непрерывно в точке [math] x_0 \in D [/math], [math] g [/math] непрерывно в точке [math] f(x_0) [/math]. Тогда [math] g \circ f [/math] непрерывно в точке [math] x_0 [/math].

Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия

Теорема (Вейерштрасс, о непрерывных отображениях):

Пусть [math] X [/math] и [math] Y [/math] — метрические пространства, [math] X [/math] компактно, [math] f \in G(X \to Y) [/math]. Тогда [math] f(X) [/math] компактно.

Или: непрерывный образ компакта — компакт.

Следствия:

1. Непрерывный образ компакта замкнут и ограничен
2. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена
3. Непрерывная на компакте функция принимает наибольшее и наименьшее значение
4. Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значение

Теорема Кантора

Теорема (Кантор):

Непрерывное на компакте отображение равномерно непрерывно.

Лемма о связности отрезка. Теорема Больцано—Коши о промежуточном значении

Теорема (Больцано-Коши, о промежуточном значении):

Пусть функция [math] f [/math] непрерывна на [math] \left [ a, b \right ] [/math]. Тогда для любого числа [math] C [/math], лежащего между [math] f(a) [/math] и [math] f(b) [/math], найдётся такое [math] c \in \left [ a, b \right ] [/math], что [math] f(c) = C [/math].

Теорема о сохранении промежутка

Теорема (о сохранении промежутка):

Множество значений непрерывной на промежутке функции есть промежуток.

Теорема о непрерывности монотонной функции. Следствие о множестве точек разрыва

Теорема (о непрерывности монотонной функции):

Пусть [math] f: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} [/math], [math] f [/math] монотонна. Тогда справедливы следующие утверждения: [math] f [/math] не может иметь разрывов второго рода. Непрерывность [math] f [/math] равносильна тому, что её множество значений — промежуток.

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции):

Пусть [math] f \in C \left ( \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} \right ) [/math], [math] f [/math] строго монотонна, [math] m = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\inf} f(x), \ M = \underset{x \in \left \langle a, b \right \rangle}{\sup} f(x) [/math]. Тогда справедливы следующие утверждения: [math] f [/math] обратима, [math] f^{-1}: \left \langle m, M \right \rangle \to \left \langle a, b \right \rangle [/math] — биекция. [math] f^{-1} [/math] строго монотонна одноимённо с [math] f [/math]. [math] f^{-1} [/math] непрерывна.

Две леммы к определению показательной функции

Лемма:

Пусть [math] a \gt 0, \ \{ r_n \} [/math] — последовательность рациональных чисел, [math] r_n \to 0 [/math]. Тогда [math] a^{r_n} \to 1 [/math].

Лемма:

Пусть [math] a \gt 0, \ x \in \mathbb{R}, \ \{ r_n \} [/math] — последовательность рациональных чисел, [math] r_n \to x [/math]. Тогда существует конечный предел последовательности [math] \left \{ a^{r_n} \right \} [/math].

Свойства показательной функции: монотонность, экспонента суммы, непрерывность

Теорема:

Показательная функция строго возрастает на [math] \mathbb{R} [/math] при [math] a \gt 1 [/math] и строго убывает при [math] 0 \lt a \lt 1 [/math]. [math] a^{x + y} = a^x a^y [/math] Показательная функция непрерывна на [math] \mathbb{R} [/math].

Свойства показательной функции: композиция экспонент, обратимость. Логарифм. Его свойства.

Теорема:

[math] (a^x)^y = a^{xy} [/math] [math] (ab)^x = a^x b^x [/math] показательная функция — биекция между [math] \mathbb{R} [/math] и [math] (0, + \infty) [/math]

Теорема:

[math] \log_a (x, y) = \log_a x + \log_a y \ (x, y \gt 0) [/math] [math] \log_a x^{\alpha} = \alpha \log_a x [/math] [math] \log_a x = {{\log_b x} \over {\log_b a}} [/math]

Непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним

Теорема:

[math] \sin, \ \cos, \ \tan, \ \cot [/math] и обратные к ним непрерывны на [math] \mathbb{R} [/math].

Замечательные пределы с участием синуса, логарифма, степенной и показательной функции

Теорема:

[math] \underset{x \to 0}{\lim} {{\sin x} \over {x}} = 1 [/math] [math] \underset{x \to \infty}{\lim} \left ( 1 + {{1} \over {x}} \right ) ^x = e [/math] [math] \underset{x \to 0}{\lim} {{\log_a (1 + x)} \over {x}} = {{1} \over {\ln a}}, \ a \gt 0, a \neq 1 [/math] [math] \underset{x \to 0}{\lim} {{(1 + x)^{\alpha} - 1} \over {x}} = \alpha, \ \alpha \in \mathbb{R} [/math] [math] \underset{x \to 0}{\lim} {{a^x - 1} \over {x}} = \ln a, \ a \gt 0 [/math]

Теорема о замене на эквивалентную при вычислении пределов. Таблица эквивалентных

Теорема (замена на эквивалентную при вычислении пределов):

Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) [/math], [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] f(x) \sim \tilde{f}(x), g(x) \sim \tilde{g}(x), \ x \to x_0 [/math]. Тогда справедливы следующие утверждения: [math] \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) [/math] Если [math] x_0 [/math] — предельная точка области определения [math] {{f} \over {g}} [/math], то [math] \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} [/math]

Теорема единственности асимптотического разложения

Теорема (о единственности асимптотического разложения):

Пусть [math] X [/math] — метрическое пространство, [math] D \subset X [/math], [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] D [/math], [math] n \in \mathbb{Z}_{+}, f, g_k: D \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}), k \in \left [ 0 : n \right ] [/math], при всех [math] k \in \left [ 0: n - 1 \right ] \ g_{k + 1} (x) = o(g_k (x)), \ x \to x_0 [/math], и для любой окрестности [math] V_{x_0} [/math] существует точка [math] t \in V_{x_0} \cap D [/math], в которой [math] g_n (t) \neq 0 [/math]. Тогда, если асимптотическое разложение функции [math] f [/math] по системе [math] \{ g_k \} [/math] существует, то оно единственно: из равенств [math] f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} c_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 [/math] [math] f(x) = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} d_k g_k (x) + o(g_n (x)), \ x \to x_0 [/math] следует, что [math] c_k = d_k [/math] при всех [math] k \in \left [ 0 : n \right ] [/math]

Равносильность двух определений производной. Правила дифференцирования.

Теорема:

Два определения производной равносильны.

Правила: производные суммы-разности; произведения; частного; композиции [math] (g \circ f)' (x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) [/math]; обратной функции [math] (f^{-1})'(f(x)) = {1 \over {f'(x)}} [/math]