Левосторонние красно-чёрные деревья — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Методы)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 208 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
−
|definition = Left-leaning Red-Black Trees .  
+
|definition = Левостороннее красно-черное дерево {{---}} тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черного дерева поиска.
−
}}
+
  }}
 +
 
 +
==Свойства==
 +
*Корневой узел всегда черный.
 +
*Каждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.
 +
*Каждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным.
 +
 
 
==Вращения==
 
==Вращения==
 +
Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:
 +
* Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
 +
* Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.
 +
 +
Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево. Первая операция трансформируют <tex>3</tex>-узел (совокупность из <tex>3</tex> узлов, где <tex>2</tex> узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной), левый потомок которого окрашен в красный, в  <tex>3</tex>-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция {{---}} наоборот.  Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.
 +
===Псевдокод===
 +
[[File:rotateRight.png|310px|thumb|upright|Rotate Right]]
 +
  '''Node''' rotateRight(h : '''Node''')
 +
      x = h.left
 +
      h.left = x.right
 +
      x.right = h
 +
      x.color = h.color
 +
      h.color = RED
 +
      '''return''' x
 +
[[File:rotateLeft.png|310px|thumb|upright|Rotate Left]]
 +
  '''Node''' rotateLeft(h : '''Node''')
 +
      x = h.right
 +
      h.right = x.left
 +
      x.left = h
 +
      x.color = h.color
 +
      h.color = RED
 +
      '''return''' x
 +
 +
==Переворот цветов==
 +
В красно-черных деревьях используется такая  операция как '''переворот цветов''' , которая инвертирует цвет узла и двух его детей.  Она не изменяет количество черных узлов  на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.
 +
===Псевдокод===
 +
[[File: ColorFlip.png|320px|thumb|upright| Переворот цветов]]
 +
  '''void''' flipColors(h : '''Node''' h)
 +
      h.color = '''!''' h.color
 +
      h.left.color = '''!''' h.left.color
 +
      h.right.color = '''!''' h.right.color
 +
 +
==Вставка==
 +
Вставка в ЛСКЧД базируется на <tex>4</tex> простых операциях:
 +
 +
*Вставка нового узла к листу дерева:
 +
Если высота узла  нулевая, возвращаем новый красный узел.
 +
[[File:insertNode.png|310px|thumb|upright|Вставка нового узла]]
 +
*Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 +
Если левый предок и правый предок  красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.
 +
[[File:Split4node.png|310px|thumb|upright|Расщепление узла]]
 +
*Принудительное вращение влево:
 +
[[File:Enforce.png|310px|thumb|upright|Принудительное вращение]]
 +
Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.
 +
*Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками:
 +
[[File:Balance4node.png|310px|thumb|Балансировка]]
 +
Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.
 +
 +
 
 +
===Псевдокод===
 +
  '''void''' insert(key : '''Key''', value : '''Value''' )
 +
        root = insert(root, key, value)
 +
        root.color = BLACK
 +
 +
 +
  '''Node''' insert(h : '''Node''', key : '''Key''', value : '''Value''')
 +
      <span style="color:#008000">// Вставка нового листа</span>
 +
      '''if''' h == ''null''   
 +
          '''return''' '''new''' Node(key, value)
 +
      <span style="color:#008000">// Расщепление узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>
 +
      '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 +
          colorFlip(h)
 +
      <span style="color:#008000">// Стандартная вставка [[Дерево поиска, наивная реализация|в дереве поиска]]</span>
 +
      '''if''' key = h.key
 +
          h.val = value
 +
      '''else'''
 +
          '''if''' key < h.key 
 +
              h.left = insert(h.left, key, value) 
 +
          '''else'''
 +
              h.right = insert(h.right, key, value)
 +
          <span style="color:#008000">// Принудительное вращение влево</span>
 +
          '''if''' isRed(h.right) '''&&''' '''!'''isRed(h.left)
 +
              h = rotateLeft(h)
 +
          <span style="color:#008000">// Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>
 +
          '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 +
              h = rotateRight(h)
 +
      '''return''' h
 +
 +
==Поиск==
 +
Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации дерева поиска]].
 +
Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от корня до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.
 +
===Псевдокод===
 +
'''Value''' search(key : '''Key''')
 +
    '''Node''' x = root
 +
    '''while''' (x '''!'''= null)
 +
      '''if''' key = x.key
 +
          '''return''' x.val
 +
      '''else'''
 +
          '''if''' key < x.key
 +
              x = x.left
 +
      '''else'''
 +
          '''if''' key > x.key
 +
              x = x.right
 +
    '''return''' ''null''
 +
 +
==Исправление правых красных связей==
 +
*Использование Переворота цветов и вращений  сохраняет баланс черной связи.
 +
*После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с <tex>4</tex>-я потомками
 +
      <span style="color:#008000">// Исправление правых красных связей</span>
 +
  '''Node''' fixUp(h : '''Node''') 
 +
      '''if''' isRed(h.right) 
 +
          h = rotateLeft(h) 
 +
      <span style="color:#008000">// Вращение <tex>2</tex>-ой красной пары пары</span>
 +
      '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.left.left)
 +
          h = rotateRight(h) 
 +
      <span style="color:#008000">// Балансировка узла с <tex>4</tex>-я потомками</span>
 +
      '''if''' isRed(h.left) '''&&''' isRed(h.right)
 +
          colorFlip(h) 
 +
      '''return''' h
 +
 +
==Удаление максимума==
 +
* Спускаемся вниз по правому краю  дерева.
 +
* Если поиск заканчивается на узле с <tex>4</tex>-мя или <tex>5</tex>-ю потомками, просто удаляем узел.
 +
 +
[[File:34-nodeRemove.png|310px|thumb|center| Узлы до и после удаления]]
 +
* Удаление узла с <tex>2</tex>-я потомками нарушает баланс
 +
Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно <tex>2</tex>-м.
 +
[[File:changeNode.png|600px|thumb|center| ]]
 +
 +
Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла '''красный'''.
 +
Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.
 +
 +
Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, необходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.
 +
[[File:MinEasy.png|400px|thumb|right| Перемещение красной ссылки. Простой случай]]
 +
 +
[[File:MinHard.png|400px|thumb|right| Перемещение красной ссылки. Сложный случай]]
  
−
* <tex> \mathrm{push}(i, x)</tex> {{---}} добавляет элемент <tex>x</tex> в стек узла <tex>i</tex>,
+
===Псевдокод===
−
  '''Stack''' push(i : '''Node''', x : '''T'''):
+
'''void''' deleteMax()            
−
    k.value = x
+
    root = deleteMax(root)       
−
    k.prev = i
+
    root.color = BLACK             
−
    s.top = k
 
−
    '''return''' s
 
  
−
* <tex>\mathrm{pop}(i)</tex> {{---}} возвращает значение, хранящееся в узле <tex>i</tex> и копирует элемент, предыдущий для него.
+
'''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
−
  '''pair<T, Stack>''' pop(i : '''Node'''):
+
    colorFlip(h)                   
−
    '''T''' val = i.value
+
    '''if''' isRed(h.right.left               
−
    i = i.prev
+
        h.right = rotateRight(h.right)     
−
    '''return''' pair(val, s)
+
        h = rotateLeft(h)                 
 +
        colorFlip(h)                         
 +
    '''return''' h                                         
  
 +
'''Node''' deleteMax(h : '''Node''')
 +
    '''if''' isRed(h.left)                                       
 +
    <span style="color:#008000">// вращаем все 3-вершины вправо</span>
 +
        h = rotateRight(h)
 +
    <span style="color:#008000">// поддерживаем инвариант (h должен быть красным)</span>
 +
    '''if''' h.right == ''null''
 +
        return ''null''
 +
    <span style="color:#008000">// заимствуем у брата если необходимо</span>
 +
    '''if''' !isRed(h.right) '''&&''' !isRed(h.right.left)
 +
        h = moveRedRight(h)
 +
    <span style="color:#008000">// опускаемся на один уровень глубже </span>
 +
    h.left = deleteMax(h.left)
 +
    <span style="color:#008000">// исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх</span>
 +
    '''return''' fixUp(h)
  
−
<code>
+
==Удаление минимума==
−
  '''Node '''rotateRight(h : '''Node '''):
+
Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.
−
  x = h.left
 
−
  h.left= x.right
 
−
  x.right= h
 
−
  x.color = h.color
 
−
  h.color = RED
 
−
    '''return ''' x
 
−
</code>
 
  
−
<code>
+
Заметим, что если  левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.
−
  '''Node''' rotateLeft(h : '''Node'''):
+
[[File:MoveRedLeftEasy.png.png |400px|thumb|upright|Перемещение красной ссылки. Простой случай]]
−
  x = h.right
+
[[File:MoveRedLeftNoEasy.png|400px|thumb|upright|Перемещение красной ссылки. Сложный случай]]
−
  h.right = x.left
+
===Псевдокод===
−
  x.left = h
+
'''Node''' moveRedLeft(h : '''Node''')
−
  x.color = h.color
+
    colorFlip(h)
−
  h.color = RED
+
    if isRed(h.right.left)
−
  '''return''' x
+
        h.right = rotateRight(h.right)
−
</code>
+
        h = rotateLeft(h)
 +
        colorFlip(h)
 +
    '''return''' h
  
−
<code>
+
'''void''' deleteMin()
−
  '''void''' flipColors(h : '''Node''' h):
+
    root = deleteMin(root)
−
  h.color = !h.color
+
    root.color = BLACK
−
  h.left.color = !h.left.color
 
−
  h.right.color = !h.right.color
 
−
</code>
 
−
==Методы==
 
  
−
<code>
+
'''Node''' deleteMin(h : '''Node''')
−
  '''void''' insert( '''key''' : Key, '''value''' : Value ):
+
    <span style="color:#008000">// удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)</span>
−
    root = insert(root, key, value);
+
    if h.left == ''null''  
−
     root.color = BLACK;
+
        '''return''' ''null''
−
</code>
+
      <span style="color:#008000">// Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз</span>
 +
    '''if  (!'''isRed(h.left) '''&&  !'''isRed(h.left.left))
 +
          h = moveRedLeft(h)
 +
      <span style="color:#008000">// опускаемся на уровень ниже </span>
 +
     h.left = deleteMin(h.left)
 +
    '''return''' fixUp(h)
  
−
<code>
+
==Асимптотика==
−
      '''Node''' insert( h : Node, key : Key, value : Value)
+
Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике [[Красно-черное дерево|базовой реализации красно-черных деревьях]].
−
          if (h == null)   
 
−
              '''return''' ''new Node(key, value)'';
 
−
          if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) colorFlip(h);
 
−
          int cmp = key.compareTo(h.key);
 
−
          if (cmp == 0)
 
−
              h.val = value;
 
−
          else
 
−
              if (cmp < 0)
 
−
                  h.left = insert(h.left, key, value); 
 
−
              '''else'''
 
−
                  h.right = insert(h.right, key, value);
 
−
          if (isRed(h.right) && !isRed(h.left))   
 
−
              h = rotateLeft(h);
 
−
          if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left))
 
−
              h = rotateRight(h);
 
−
      '''return''' ''h''
 
−
</code>
 
  
−
<code>
+
== См.также ==
−
  public Value search(Key key)
+
*[[Красно-черное дерево]]
−
  Node x = root;
+
*[[Дерево поиска, наивная реализация]]
−
  while (x != null)
+
==Источники информации==
−
      int cmp = key.compareTo(x.key);
+
* Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University
−
      if (cmp == 0) return x.val;
+
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
−
          else
 
−
              if (cmp < 0)
 
−
                  x = x.left;
 
−
                  else
 
−
                      if (cmp > 0)
 
−
                          x = x.right;
 
−
          return null;
 
−
</code>
 
−
==Удаление==
 
−
<code>
 
−
void deleteMin()
 
−
  root = deleteMin(root);
 
−
  root.color = BLACK;
 
−
</code>
 
−
<code>
 
−
Node deleteMin( h : Node)
 
−
  if (h.left == null) return null;
 
−
  if (!isRed(h.left) && !isRed(h.left.left))
 
−
      h = moveRedLeft(h);
 
−
  h.left = deleteMin(h.left);
 
−
  return fixUp(h);
 
−
</code>
 

Текущая версия на 19:08, 4 сентября 2022

Определение:
Левостороннее красно-черное дерево — тип сбалансированного двоичного дерева поиска, гарантирующий такую же асимптотическую сложность операций, как у красно-черного дерева поиска.


Свойства

  • Корневой узел всегда черный.
  • Каждый новый узел всегда окрашен в красный цвет.
  • Каждый дочерний нулевой узел листа дерева считается черным.

Вращения

Чтобы поддерживать левосторонние красно-черные двоичные деревья поиска необходимо соблюдать следующие инварианты при вставке и удалении:

  • Ни один путь от корня до листьев дерева не содержит двух последовательных красных узлов.
  • Количество черных узлов на каждом таком пути одинаково.

Основные операции, используемые алгоритмами сбалансированного дерева для поддержания баланса при вставке и удалении, называются вращением вправо и вращением влево. Первая операция трансформируют [math]3[/math]-узел (совокупность из [math]3[/math] узлов, где [math]2[/math] узла являются наследниками третьего, причем одна из связей является красной), левый потомок которого окрашен в красный, в [math]3[/math]-узел, правый потомок которого окрашен в красный,вторая операция — наоборот. Вращения сохраняют два указанных выше инварианта, не изменяют поддеревья узла.

Псевдокод

Rotate Right
  Node rotateRight(h : Node) 
      x = h.left
      h.left = x.right
      x.right = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
      return x
Rotate Left
  Node rotateLeft(h : Node) 
      x = h.right
      h.right = x.left
      x.left = h
      x.color = h.color
      h.color = RED
      return x

Переворот цветов

В красно-черных деревьях используется такая операция как переворот цветов , которая инвертирует цвет узла и двух его детей. Она не изменяет количество черных узлов на любом пути от корня до листа, но может привести к появлению двух последовательных красных узлов.

Псевдокод

Переворот цветов
 void flipColors(h : Node h) 
      h.color = ! h.color
      h.left.color = ! h.left.color
      h.right.color = ! h.right.color

Вставка

Вставка в ЛСКЧД базируется на [math]4[/math] простых операциях:

  • Вставка нового узла к листу дерева:

Если высота узла нулевая, возвращаем новый красный узел.

Вставка нового узла
  • Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками:

Если левый предок и правый предок красные, запускаем переворот цветов от текущего узла.

Расщепление узла
  • Принудительное вращение влево:
Принудительное вращение

Если правый предок красный, вращаем текущую вершину влево.

  • Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками:
Балансировка

Если левый предок красный и левый предок левого предка красный, то вращаем текущую вершину вправо.


Псевдокод

 void insert(key : Key, value : Value ) 
        root = insert(root, key, value)
        root.color = BLACK



 Node insert(h : Node, key : Key, value : Value)
      // Вставка нового листа
     if h == null     
         return new Node(key, value)
      // Расщепление узла с [math]4[/math]-я потомками
     if isRed(h.left) && isRed(h.right)
         colorFlip(h)
      // Стандартная вставка в дереве поиска
     if key = h.key 
         h.val = value
     else 
         if key < h.key  
             h.left = insert(h.left, key, value)  
         else 
             h.right = insert(h.right, key, value)
          // Принудительное вращение влево
         if isRed(h.right) && !isRed(h.left)
             h = rotateLeft(h)
          // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
         if isRed(h.left) && isRed(h.left.left)
             h = rotateRight(h)
     return h

Поиск

Поиск в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентен поиску в наивной реализации дерева поиска. Для поиска элемента в красно-черных деревьях дереве поиска можно воспользоваться циклом,который проходит от корня до искомого элемента. Если же элемент отсутствует, цикл пройдет до листа дерева и прервется. Для каждого узла цикл сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае цикл повторяет для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

Псевдокод

Value search(key : Key)
    Node x = root
    while (x != null)
      if key = x.key
          return x.val
      else
          if key < x.key
              x = x.left
      else 
          if key > x.key 
              x = x.right
    return null

Исправление правых красных связей

  • Использование Переворота цветов и вращений сохраняет баланс черной связи.
  • После удаления необходимо исправить правые красные связи и устранить узлы с [math]4[/math]-я потомками
      // Исправление правых красных связей
  Node fixUp(h : Node)  
      if isRed(h.right)  
          h = rotateLeft(h)  
      // Вращение [math]2[/math]-ой красной пары пары
      if isRed(h.left) && isRed(h.left.left)
          h = rotateRight(h)  
      // Балансировка узла с [math]4[/math]-я потомками
      if isRed(h.left) && isRed(h.right)
          colorFlip(h)  
      return h

Удаление максимума

  • Спускаемся вниз по правому краю дерева.
  • Если поиск заканчивается на узле с [math]4[/math]-мя или [math]5[/math]-ю потомками, просто удаляем узел.
Узлы до и после удаления
  • Удаление узла с [math]2[/math]-я потомками нарушает баланс

Соответственно, спускаясь вниз по дереву необходимо поддерживать следующий инвариант : количество потомков узла не должно быть ровно [math]2[/math]-м.

ChangeNode.png

Будем поддерживать инвариант: для любого узла либо сам узел, либо правый предок узла красный. Будем придерживаться тактики , что удалять лист легче, чем внутренний узел.

Заметим, что если правый потомок вершины и правый потомок правого потомка вершины черные, необходимо переместить левую красную ссылку вправо для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

void deleteMax()              
    root = deleteMax(root)         
    root.color = BLACK               

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)                     
    if isRed(h.right.left                
        h.right = rotateRight(h.right)       
        h = rotateLeft(h)                   
        colorFlip(h)                          
    return h                                           

Node deleteMax(h : Node)
    if isRed(h.left)                                         
    // вращаем все 3-вершины вправо
        h = rotateRight(h)
    // поддерживаем инвариант (h должен быть красным)
    if h.right == null
        return null
    // заимствуем у брата если необходимо
    if !isRed(h.right) && !isRed(h.right.left) 
        h = moveRedRight(h)
    // опускаемся на один уровень глубже 
    h.left = deleteMax(h.left) 
    // исправление правых красных ссылок и 4-вершин на пути вверх
    return fixUp(h)

Удаление минимума

Поддерживаем инвариант: вершина или левый ребенок вершины красный.

Заметим, что если левый потомок вершины и левый потомок левого потомка вершины черные, необходимо переместить красную ссылку для сохранения инварианта.

Перемещение красной ссылки. Простой случай
Перемещение красной ссылки. Сложный случай

Псевдокод

Node moveRedLeft(h : Node)
    colorFlip(h)
    if isRed(h.right.left)
        h.right = rotateRight(h.right)
        h = rotateLeft(h)
        colorFlip(h)
    return h

void deleteMin()
    root = deleteMin(root)
    root.color = BLACK

Node deleteMin(h : Node)
    // удаляем узел на нижнем уровне(h должен быть красным по инварианту)
    if h.left == null   
        return null
     // Если необходимо, пропушим  красную ссылку вниз
    if  (!isRed(h.left) &&  !isRed(h.left.left))
         h = moveRedLeft(h)
     // опускаемся на уровень ниже 
    h.left = deleteMin(h.left)
    return fixUp(h)

Асимптотика

Асимптотика методов в левосторонних красно-черных деревьях эквивалентна асимптотике базовой реализации красно-черных деревьях.

См.также

Источники информации

  • Robert Sedgewick "Left-leaning Red-Black Trees" ,Department of Computer Science, Princeton University
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Левосторонние_красно-чёрные_деревья&oldid=84519»