Композиция отношений

Определение:

Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений (англ. composition of binary relations) [math]R\subseteq A\times B[/math] и [math]S\subseteq B\times C[/math] называется такое отношение [math] (R \circ S) \subseteq A\times C[/math], что: [math]\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \iff \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c) [/math].

Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве [math]A[/math] населенных пунктов [math]R\subseteq A\times A[/math] — отношение "можно доехать на поезде", а [math]S\subseteq A\times A[/math] — отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение [math]R\circ S\subseteq A\times A[/math] — отношение "можно добраться из пункта А в пункт Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе (только по одному разу)".

Степень отношений

Определение:

Степень отношения (англ. power of relation) [math]R^{n} \subseteq A\times A[/math], определяется следующим образом: [math] R^{n} = R^{n-1} \circ R; [/math] [math] R^{1} = R; [/math] [math] R^{0} = \{ (x, x) \mid x \in A \}[/math];

В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:

[math] R^{+} = \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} R^{i} [/math] — Транзитивное замыкание (англ. transitive closure) отношения [math]R[/math];

[math] R^{*} = \bigcup\limits^{\infty}_{i=0} R^{i} [/math] — Транзитивно-рефлексивное замыкание отношения [math]R[/math]

Обратное отношение

Определение:

Отношение [math]R^{-1} \subseteq B\times A[/math] называют обратным (англ. inverse relation) для отношения [math] R \subseteq A\times B[/math], если: [math] bR^{-1}a \iff aRb [/math]

Определение:

Ядром отношения (англ. kernel of relation) [math]R[/math] называется отношение [math] R\circ R^{-1} [/math]

Свойства

Композиция отношений обладает следующими свойствами:

• Ядро отношения [math] R [/math] симметрично:   [math]a (R \circ R^{-1}) b \iff b (R \circ R^{-1})a [/math]

• Композиция отношений ассоциативна:   [math] (R \circ S) \circ T = R \circ (S \circ T) [/math]

• Обратное отношение для отношения, являющемуся обратным к [math] R [/math] есть само [math] R :[/math]   [math] (R^{-1})^{-1} = R [/math]

• Обратное отношение к композиции отношений [math]R [/math] и [math]S [/math] есть композиция отношений, обратных к [math]R [/math] и [math]S : [/math]   [math] (R \circ S) ^ {-1} = (S ^ {-1}) \circ (R ^ {-1}) [/math]

• Обратное отношение к объединению отношений [math]R [/math] и [math]S [/math] есть объединение отношений, обратных к [math]R [/math] и [math]S : [/math]  [math] (R \cup S) ^ {-1} = (R^{-1}) \cup (S^{-1}) [/math]

• Обратное отношение к пересечению отношений [math]R [/math] и [math]S [/math] есть пересечение отношений, обратных к [math]R [/math] и [math]S : [/math]  [math] (R \cap S) ^ {-1} = (R^{-1}) \cap (S^{-1}) [/math]

См. также

• Бинарное отношение
• Транзитивное замыкание

Источники информации

• Новиков Ф. А. — Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. — СПБ.: Питер, 2009 — 52 с.
• Wikipedia — Composition of relations
• UNC Charlotte — Lectures in Discrete Mathematics: Composition of Relations and Directed Graphs.