Решение задач по логике

Вывод утверждений из аксиом

Докажем, что [math]a\&b \rightarrow b\&a[/math]. По теореме о дедукции, если [math]a \& b \vdash b\& a[/math], то [math]\vdash a \& b \rightarrow b \& a[/math].

1. [math]a \& b[/math] — по предположению
2. [math]a \& b \rightarrow a[/math] — схема аксиом 4
3. [math]a[/math] — modus ponens 1, 2
4. [math]a \& b \rightarrow b[/math] — схема аксиом 5
5. [math]b[/math] — modus ponens 1, 4
6. [math]b \rightarrow a \rightarrow b \& a[/math] — схема аксиом 3
7. [math]a \rightarrow b \& a[/math] — modus ponens 5, 6
8. [math]b \& a[/math] — modus ponens 3, 7

Докажем то же самое, только без использования теоремы о дедукции.

1. [math]a \&b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)[/math] — схема аксиом 1
2. [math](a \& b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \&b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)[/math] — схема аксиом 2
3. [math](a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)[/math] — modus ponens 1, 2
4. [math]a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)[/math] — схема аксиом 1
5. [math]a \& b \rightarrow a \& b[/math] — modus ponens 4, 3
6. [math]a \& b \rightarrow a[/math] — схема аксиом 4
7. [math]b \rightarrow a \rightarrow b \& a[/math] — схема аксиом 3
8. [math](b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a))[/math] — схема аксиом 1
9. [math]a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a)[/math] — modus ponens 7, 8
10. [math]a \& b \rightarrow b[/math] — схема аксиом 5
11. [math](a \& b \rightarrow b) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)[/math] — схема аксиом 2
12. [math](a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)[/math] — modus ponens 10, 11
13. [math]a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a[/math] — modus ponens 9, 12
14. [math](a \& b \rightarrow a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \&b \rightarrow b \& a)[/math] — схема аксиом 2
15. [math](a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \& a)[/math] — modus ponens 6, 14
16. [math]a \& b \rightarrow b \& a[/math] — modus ponens 13, 15

Чтобы получить из доказательства с предположениями доказательство без предположений, нужно воспользоваться доказательством теоремы о дедукции. Для начала надо написать "план доказательства" из строчек вида [math]\alpha \rightarrow \gamma_i[/math], где [math]\alpha[/math] — предположение, а [math]\gamma_i[/math] — промежуточное утверждение из доказательства, и доказывать каждое утверждение из плана доказательства так, как это расписано в доказательстве теоремы о дедукции.

Докажем, что [math]a \rightarrow \neg a \rightarrow b[/math]. По теореме о дедукции, если [math]a, \neg a \vdash b[/math], то [math]a \rightarrow \neg a \rightarrow b[/math].

1. [math]a[/math] — предположение
2. [math]a \rightarrow (\neg b \rightarrow a)[/math] — схема аксиом 1
3. [math](\neg b \rightarrow a)[/math] — modus ponens 1, 2
4. [math]\neg a[/math] — предположение
5. [math]\neg a \rightarrow (\neg b \rightarrow \neg a)[/math] — схема аксиом 1
6. [math](\neg b \rightarrow \neg a)[/math] — modus ponens 4, 5
7. [math](\neg b \rightarrow a) \rightarrow (\neg b \rightarrow \neg a) \rightarrow \neg \neg b[/math] — схема аксиом 9
8. [math](\neg b \rightarrow \neg a) \rightarrow \neg \neg b[/math] — modus ponens 3, 7
9. [math]\neg \neg b[/math] — modus ponens 6, 8
10. [math]\neg \neg b \rightarrow b[/math] — схема аксиом 10
11. [math]b[/math] — modus ponens 9, 10