Тестовая страница — различия между версиями
Komarov (обсуждение | вклад) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
| (не показано 14 промежуточных версий 6 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
<wikitex> | <wikitex> | ||
| − | $\ | + | {{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}} |
| + | {{Теорема | ||
| + | |statement= | ||
| + | Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$). | ||
| + | |proof= | ||
| + | Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать. | ||
| + | Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает. | ||
| + | $a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1). | ||
| + | Но действительно $f(x_2) - f(x_1) \le | f(x_2) - f(x_1) | \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$, ч. т. д. | ||
| + | }} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
</wikitex> | </wikitex> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Текущая версия на 19:10, 4 сентября 2022
<wikitex>
TODO: НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ
| Теорема: |
Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$). |
| Доказательство: |
|
Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать. Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает. $a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1). Но действительно $f(x_2) - f(x_1) \le |
</wikitex>
