Полиномиальная иерархия

Полиномиальная иерархия - иерархия классов сложности, которая обобщает классы P, NP и coNP до вычислений с оракулом.

Отношения классов полиномиальной иерархии

Классы из полиномиальной иерархии

Приведем некоторые соотношения между классами [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math].

[math]\Sigma_0 = P[/math]
[math]\Sigma_1 = NP[/math]
[math]\Pi_0 = P[/math]
[math]\Pi_1 = coNP[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}[/math]
[math]\Sigma_i \subset \Pi_{i+1}[/math]

[math]\cup_{n=0}^{\infty} \Sigma_n = \cup_{n=0}^{\infty} \Pi_n = PH[/math]

Связь языков из [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math]

Если язык [math]L[/math] принадлежит классу [math]\Sigma_i[/math], то дополнение [math]\overline{L}[/math] принадлежит классу [math]\Pi_i[/math]

Коллапс полиномиальной иерархии

Если [math]\Sigma_n = \Sigma_{n+1}[/math] или [math]\Sigma_n = \Pi_n[/math], то по теоремам о коллапсе полиномиальной иерархии полиномиальная иерархия сжимается до уровня [math]n[/math]. То есть если [math]i \gt n[/math], то [math]\Sigma_i = \Sigma_n[/math]. Это означает, что равенство классов P и NP схлопывает полиномиальную иерархию.

Объединение классов полиномиальной иерархии

Объединение всех классов полиномиальной иерархии называется классом PH.

Известно что PH является подмножеством PS, но о равенстве между этими классами ничего не известно.