|
|
| (не показаны 22 промежуточные версии 2 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Локальная лемма Ловаса ==
| |
| | | | |
| − | Бывают примеры, когда очень мала вероятность самого события, но тем не менее можно утверждать, что оно заведомо произойдет. Например, если каждое из большого количества независимых событий происходит с положительной вероятностью, то с положительной ''(но возможно очень маленькой)'' вероятностью произойдут все они одновременно. Следующая важная теорема обобщает это наблюдение на случай “слабо зависимых” событий.
| |
| − |
| |
| − | {{Теорема
| |
| − | |id=thLovas
| |
| − | |about=Локальная лемма Ловаса
| |
| − | |statement='''Пояснение:'''<br>Пусть имеется семейство событий <tex>A_1, A_2, ... , A_n</tex>, и для каждого события <tex>A_i</tex> выделено множество индексов <tex>M(i) \subset \{ 1, 2, . . . , n \}</tex> такое, что <tex>A_i</tex> не зависит от всех событий <tex>A_j
| |
| − | , j \notin M(i)</tex>. Это означает, что для любого события <tex>B</tex>, выражаемого через множество событий <tex>\{ A_j, j \notin M(i) \}</tex>, события <tex>A_i</tex> и <tex>B</tex> независимы. Через <tex>\bar{A}</tex> будем обозначать дополнение события <tex>A</tex>. <br>
| |
| − | '''Формулировка теоремы:'''<br>
| |
| − | Предположим, что нашлись такие числа <tex>x_i \in (0, 1)</tex>, что для всех <tex>i</tex> выполняется неравенство <tex>P(A_i) \leq x_i\prod_{j \in M(i)}(1-x_j)</tex>. Тогда <tex>P(\bigcap \bar{A_i}) \geq \prod(1-x_i)</tex>, что значит, что с положительной вероятностью ни одного из событий <tex>A_i</tex> не происходит.
| |
| − | |proof= Докажем более сильное утверждение: если <tex>I = I_1 \sqcup I_2</tex>, где $I_1, I_2$ - множества
| |
| − | индексов, то
| |
| − | <br><tex>
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | P \left( \bigcap\limits_{i \in I} \bar{A_i} \right) \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2} \bar{A_i} \right) \cdot \prod\limits_{j \in I_1}(1-x_j)
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | </tex><br>
| |
| − | Для пустого $I_2$ получаем требуемое. Докажем индукцией по <tex>|I|</tex>. Если <tex>|I| = 1</tex>, то при <tex>I_2 = I, I_1 = \emptyset</tex> имеет место равенство, а при <tex>I_1 = I, I_2 = \emptyset</tex> имеем <tex>P(\bar{A_i}) = 1 - P(A_i) \geq 1 - x_i</tex>. Теперь предположим, что для всех множеств индексов мощности меньше <tex>|I|</tex> и любых их подразбиений на два подмножества неравенство имеет место. Докажем его для $I$. Рассмотрим сначала случай <tex>|I_1| = 1, I_1 = \{ k \}</tex>. Обозначим <tex>P(\bigcap_{i \in I_2} \bar{A_i}) = p_0</tex>. Имеем
| |
| − | <br><tex>
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | P \left( \bigcap\limits_{i \in I} \bar{A_i} \right) = p_0 - P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2} \bar{A_i} \cap A_k \right) \geq p_0 - P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \setminus M(k)} \bar{A_i} \cap A_k \right) =
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | </tex><br>
| |
| − | <tex>
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | p_0 - P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \setminus M(k)} \bar{A_i} \right) \cdot P(A_k) \geq p_0(1-x_k)
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | </tex>.<br>
| |
| − | Чтобы проверить выполнение последнего неравенства, перепишем его в равносильном виде
| |
| − | <br><tex>
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | p_0x_k \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \setminus M(k)} \bar{A_i} \right) \cdot P(A_k)
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | </tex>.<br>
| |
| − | Это неравенство следует из оценки <tex>P(A_k) \leq x_k \prod_{j \in M(k)}(1-x_j)</tex> и индукционного предположения.<br>
| |
| − | Пусть теперь <tex>I_1 = \{ k \} \sqcup I_3, |I_3| > 0</tex>. Имеем
| |
| − | <br><tex>
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | P \left( \bigcap\limits_{i \in I} \bar{A_i} \right) \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \cup I_3} \bar{A_i} \right) (1 - x_k) \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2} \bar{A_i} \right) (1 - x_k) \prod\limits_{j \in I_3} (1-x_j),
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | </tex><br>
| |
| − | что и требовалось ''(здесь первое неравенство уже доказано, а второе следует из индукционного предположения)''.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | '''Замечание.''' Как видно из доказательства, вместо независимости каждого события $A_i$ от событий, не входящих в $M(i)$ достаточно требовать для любого множества $I$ такого, что <tex>I \cap (M(i) \cup \{ i \} ) = \emptyset</tex> оценки
| |
| − | <br><tex>
| |
| − | \begin{equation}
| |
| − | P \left( A_i | \bigcap\limits_{j \in I} \bar{A_j} \right) \leq x_i \prod \limits_{j \in M(i)} (1-x_j).
| |
| − | \end{equation}
| |
| − | </tex><br>
| |
| − | Иногда используется именно такая версия локальной леммы. <br>
| |
| − | В случае, когда оценки на вероятности всех событий совпадают, из леммы можно получить следующее утверждение:
| |
| − |
| |
| − | {{Теорема
| |
| − | |id=thLocalLovas
| |
| − | |about=Симметричная версия локальной леммы
| |
| − | |statement=Предположим, что <tex>e \cdot p \cdot (d + 1) \leq 1,</tex> каждое событие $A_i$ происходит с вероятностью не больше, чем $p$ и <tex>|M(i)| \leq d</tex> для всех $i$. Тогда с положительной вероятностью ни одного события $A_i$ не происходит.
| |
| − | |proof=Выберем <tex>x_i = x = 1 / (d + 1)</tex>. Тогда <tex>(1 − x)^d \geq 1 / e</tex>, что следует из определения числа $e$. Следовательно, <tex>p \leq x(1 − x)^d</tex>, так что выполняются условия локальной леммы.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | ==Применение симметричной версии локальной леммы==
| |
| − |
| |
| − | {{Задача
| |
| − | |definition=Пусть $G$ - граф, степени всех вершин которого не больше $d$, $P_i$ - непересекающиеся подмножества множества вершин графа $G$ такие, что <tex>|P_i| > 2e \cdot d</tex>. Тогда можно выбрать в каждом $P_i$ по вершине так, что никакие две соединенные ребром вершины не выбраны.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | '''Доказательство:'''<br>
| |
| − | Уменьшим при необходимости некоторые $P_i$ так, чтобы для всякого $i$ было <tex>|P_i| = k := [2ed] + 1</tex>. Будем выбирать вершины <tex>x_i \in P_i</tex> случайно и независимо. Каждому ребру <tex>(u,v)</tex> графа $G$ сопоставим событие $A_{(u, v)}$: оба конца $u$, $v$ этого ребра выбраны. Очевидно, что вероятность каждого такого события не больше, чем $1/k^2$. В случае, если концы ребра принадлежат одному и тому же $P_i$ или один из них не принадлежит ни одному $P_i$, вероятность равна
| |
| − | $0$ и такие события мы далее не рассматриваем. Для ребра $(u, v)$, для которого, скажем <tex>u \in P_1, v \in P_2</tex>, рассмотрим все ребра, выходящие из вершин множеств $P_1$ и $P_2$. Всего будет не более,
| |
| − | чем $2kd - 2$ таких ребер ''(не считая ребра $(u, v)$)''. Заметим, что событие $A_{(u, v)}$ не зависит от всех других событий типа <tex>A_{(u', v')}</tex>, где <tex>(u', v')</tex> - ребро, соединяющее вершины множеств, отличных от $P_1$ и $P_2$.<br> Таким образом, для применения симметричной версии локальной леммы достаточно проверить, что <tex>e(2kd − 1) / k^2 < 1</tex>, что имеет место.
| |
| − |
| |
| − | == Источники информации ==
| |
| − | *[http://club.pdmi.ras.ru/oldsite/courses/07f_probmet/probmet3.pdf Конспект лекций Ф.В. Петрова {{---}} Локальная лемма Ласло Ловаса]
| |
| − | *[https://www.youtube.com/watch?v=upytqnd6iqs Лекция А.М.Райгородского в ШАД]
| |
| − | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
| |
| − | [[Категория: Теория вероятности]]
| |
