Теорема о существовании порога для монотонных свойств

Рассмотрим биномиальную модель случайного графа $G(n,p)$.

Определение:

Подмножество $\mathcal{A}$ всех графов на $n$ вершинах называется свойством (англ. graph property).

Определение:

Свойство называется нетривиальным (англ. non-trivial property), если существуют графы, как удовлетворяющие ему, так и нет.

Определение:

Свойство $\mathcal{A}$ называется монотонным (англ. monotone property), если для любой пары $G_1,G_2\in G(n,p),\,E(G_1)\subset E(G_2)$ выполнено следствие: $G_1\in \mathcal{A}\Rightarrow G_2\in\mathcal{A}$

Определение:

Функция $p_0(n)$ называется пороговой для монотонного свойства $\mathcal{A}$ (англ. threshold), если для любой функции вероятности $p(n)$ выполнено: $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$

Мы уже знакомы с некоторыми пороговыми функциями.

Лемма (о монотонности вероятности):

Для любого монотонного свойства $\mathcal{A}$ верно следствие: $p_2\geqslant p_1\Rightarrow P(G(n,p_2)\in \mathcal{A})\geqslant P(G(n,p_1)\in \mathcal{A})$

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть $p=\dfrac{p_2-p_1}{1-p_1}\in[0,1]$. Выберем случайно граф $G_1$ из $G(n,p_1)$, затем $G$ из $G(n,p)$ и рассмотрим $G_1\cup G$. В нем с вероятностью $(1-p)(1-p_1)=(1-p_2)$ не будет фиксированного ребра, как и в графе $G_2$. Мы смогли представить выбор $G_2$ как объединение, один из которых — выбор графа $G(n,p_1)$, значит $P(G(n,p_2))\geqslant P(G(n,p_1))$

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Bollob́as-Thomason):

Любое нетривиальное монотонное свойство имеет пороговую функцию.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала найдем эту пороговую функцию. Зафиксируем $n$. Заметим, что функция $f(p)=P(G(n,p)\in\mathcal{A})$ непрерывна. На самом деле это многочлен, у которого степень оценивается как количество ребер в полном графе. Вероятность получить конкретный граф равна $p^\alpha\cdot(1-p)^\beta$, где $\alpha$ и $\beta$— количество присутствующих и отсутствующих ребер соответственно ($\alpha+\beta=C_n^2$). Чтобы получить $f(p)$, нужно просуммировать такие многочлены по всем графам из $\mathcal{A}$. $f(0)=0$, $f(1)=1$, так как свойство нетривиальное и монотонное (то есть пустой граф точно не удовлетворяет ему, тогда как полный должен удовлетворять). По теореме Больцано-Коши найдется такое $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$. Мы по $n$ научились находить такую вероятность $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$. Теперь проделаем это для каждого $n\in\mathbb{N}$ и получим функцию $p_0(n)$. Она окажется пороговой для свойства $\mathcal{A}$. Докажем это. Пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$. Докажем, что $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$. Докажем, что неравенство $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})>P(G(n,1-(1-p_0(n))^m)\in\mathcal{A})$ верно при достаточно больших $n$. Для этого по лемме о монотонности вероятности достаточно установить: $p(n)>1-(1-p_0(n))^m$. $p(n)>m p_0(n)$. Неравенство верно с некоторого момента, так как $p\gg p_0$ по предположению. $m p_0(n)\geqslant 1-(1-p_0(n))^m$. Это неравенство Бернулли. Оно верно при $(-p_0(n))>-1$ и $m\notin[0,1]$. Первое ограничение соблюдено, далее выберем $m$ с учетом второго ограничения. Выберем графы $G_1,\ldots,G_m\in G(n,p_0(n))$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. Оказывается, что $P(G(n,1-(1-p_0(n))^m)\in\mathcal{A})=P(H\in\mathcal{A})$. Действительно, посмотрим, с какой вероятностью в $H$ не окажется фиксированного ребра. Это будет тогда, когда во всех графах $G_i$ не будет его, то есть $P(\text{в }H\text{ нет ребра})=(1-p_0(n))^m$. Тогда в $H$ будет ребро с вероятностью $1-(1-p_0(n))^m$. Мы получили даже, что $H\in G(n,1-(1-p_0(n))^m)$. Оценим вероятность принадлежности $H$ свойству $\mathcal{A}$: $P(H\in\mathcal{A})\geqslant 1-(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m$. Перепишем неравенство с учетом $P(H\in\mathcal{A})=1-P(H\notin\mathcal{A})$: $(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m\geqslant P(H\notin\mathcal{A})$. Если мы покажем, что из правого события следует левое, то тогда докажем само неравенство. Справа — вероятность того, что граф $H$ не попал в $\mathcal{A}$. Тогда (в силу монотонности свойства) и все его подграфы (в том числе и $G_i$) тоже не попали в $\mathcal{A}$. А слева как раз и есть вероятность того, что все графы $G_i$ не попали в $\mathcal{A}$. По построению $p_0(n)$ правую часть последнего неравенства можно легко посчитать: $1-(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m=1-(1-1/2)^m=1-1/2^m$ Совершим последнюю оценку: $1-1/2^m>1-\varepsilon$. Это равносильно $m\geqslant \log_2{1/\varepsilon}$. Положим $m=\log_2{1/\varepsilon}+2$. Тогда исходное неравенство верно, а также ограничение для неравенства Бернулли выполнено. За несколько шагов мы показали, что неравенство $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})>1-\varepsilon$ выполняется с некоторого момента. Это и значит $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$ Теперь пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$. Докажем, что $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$. Зафиксируем $\varepsilon>0$. (1) Так как $1-\varepsilon<1$, то найдется такое натуральное $m$, что $(1-\varepsilon)^m<1/2$. (2) Так как $p\ll p_0$, то с некоторого момента $p(n) m<p_0(n)$, тогда $p_0(n)>m p(n)\geqslant 1-(1-p(n))^m$. Выберем $m$ графов из $G(n,p(n))$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. Как мы уже знаем, $H\in G(n,1-(1-p(n))^m)$. $(1-P(G(n,p(n))\in\mathcal{A}))^m=P(\forall\,i\colon G_i\notin\mathcal{A})\geqslant P(H\notin\mathcal{A})\geqslant1/2$. Из нового только последнее неравенство, остальное уже доказано. Оно следует из $P(H\in\mathcal{A})=P(G(n,1-(1-p(n))^m)\in\mathcal{A})<P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A})=1/2$. В последнем неравенстве мы пользуемся леммой о монотонности вероятности и (2). $1/2>(1-\varepsilon)^m$ по (1). Тогда $(1-P(G(n,p(n))\in\mathcal{A}))^m>(1-\varepsilon)^m\Rightarrow P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})<\varepsilon$ Мы по $\varepsilon$ научились понимать, что $P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A})<\varepsilon$ верно с некоторого момента, что и означает сходимость.

[math]\triangleleft[/math]