Случайные графы

Определение:

Модель Эрдёша-Реньи (англ. Erdős–Rényi model) — модель генерации случайных графов, в которой все графы с фиксированным набором вершин и фиксированным набором рёбер одинаково вероятны. Существует два тесно связанных варианта модели: биномиальная и равномерная.

Определение:

Биномиальная модель случайного графа (англ. binomial random graph model) [math]G(n, p)[/math] — модель, в которой каждое ребро входит в случайный граф независимо от остальных ребер с вероятностью [math]p[/math]. [math]G(n, p) = (\Omega_n, F_n, P_{n, p})[/math] — вероятностное пространство . [math]|\Omega_n| = 2^{C^2_n}[/math], [math]P_{n, p}(G) = p^m(1 - p)^{C^2_n - m}[/math], где [math]m[/math] — число ребер в графе.

Определение:

Равномерная модель случайного графа (англ. uniform random graph model) [math]G(n, m)[/math] — модель, в которой все графы с [math]m[/math] ребрами равновероятны. [math]G(n, m) = (\Omega_n, F_n, P_{n, m})[/math] — вероятностное пространство. [math]|\Omega_n| = m[/math], [math]P_{n, m}(G) = \dfrac{1}{C^m_n}[/math].

Определение:

Свойство [math]A[/math] асимптотически почти наверное истинно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1[/math], где [math]p(n)[/math] — вероятность графа [math]G(n, p)[/math] обладать этим свойством.

Определение:

Свойство [math]A[/math] асимптотически почти наверное ложно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0[/math], где [math]p(n)[/math] — вероятность графа [math]G(n, p)[/math] обладать этим свойством.

Существование треугольников в случайном графе

Теорема:

Если [math]p(n) = o(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] асимптотически почти наверное (далее а.п.н) не содержит треугольников.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник. Воспользуемся неравенством Маркова: [math]P(T \gt 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant E[T] = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если [math]p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] а.п.н содержит треугольник.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник. Воспользуемся неравенством Чебышева: [math]P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(E[T] - T \geqslant E[T]) \leqslant P(|E[T] - T| \geqslant E[T]) \leqslant \dfrac{D[T]}{(E[T])^2}[/math]. Найдем [math]E[T^2][/math]: [math]E[T^2] = E[(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2]= E[\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}^2] + E[\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}] =[/math] [math]= E[T] + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}[/math] [math]D[T] = E[T^2] - (E[T])^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}[/math] [math]P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Связность графа

Лемма:

Если [math]c \geqslant 3[/math], [math]n \geqslant 100[/math], [math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math]. Тогда [math]P(G - связен) \rightarrow 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]X[/math] — индикаторная величина, равная нулю, если [math]G[/math] связен, и [math]k[/math], если [math]G[/math] содержит [math]k[/math] компонент связности. [math]X_i[/math] — число компонент связности размера [math]i[/math]. [math]X_{a_1,a_2, \dots , a_i} = 1[/math], если [math]a_1,a_2, \dots , a_i[/math] — компонента связности. [math]X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}[/math] [math]E[X_i] = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} E[X_{a_1,a_2, \dots , a_i}] = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}[/math]. [math]E[X] \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} E[X_i] \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}[/math] Последняя сумма симметрична (слагаемые при [math]i = k[/math] и [math]i = n - k[/math] равны), кроме того слагаемое при [math]i = 1[/math] — наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при [math]i \leqslant \dfrac{n}{8}[/math] и [math]\dfrac{n}{8} \lt i \leqslant \dfrac{n}{2}[/math]). Оценим сверху первое слагаемое [math]n(1 - p)^{n - 1}[/math]: [math]n(1 - p)^{n - 1} \leqslant ne^{-p(n - 1)} \leqslant ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}}[/math] [math]n \geqslant 100[/math], поэтому [math]\dfrac{n - 1}{n} \gt 0.9[/math]. [math]ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}} \lt e^{-2.7\ln n} = \dfrac{1}{n^{2.7}}[/math] [math]\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\dfrac{1}{n^{2.7}} \lt \dfrac{n}{n^{2.7}} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Если [math]c \geqslant 3[/math], [math]n \geqslant 100[/math], [math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math]. Тогда [math]P(G - связен) \gt 1 - \dfrac{1}{n}[/math].

Теорема:

[math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math], тогда при [math]c \lt 1[/math] граф а.п.н связен, при [math]c \gt 1[/math] граф а.п.н не связен.

Распределение степеней вершин

Определение:

Распределение степеней вершин случайного графа - это функция [math]P(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi=x)[/math], то есть выражающая вероятность того, что вершина [math]\xi[/math] имеет степень [math]x[/math]. Другими словами, распределение степеней [math]P(k)[/math] графа определяется как доля узлов, имеющих степень [math]k[/math].

Пример:

Если есть в общей сложности [math]n[/math] узлов в графе и из них [math]n_k[/math] имеют степень [math]k[/math], то [math]P(k) = \frac{n_k}{n}[/math]. Другими словами, [math]P(k)[/math] равно вероятности того, что отдельно взятая вершина имеет степень [math]k[/math].

Утверждение:

Дан случайный граф [math]G(n, p)[/math] в биноминальной модели. Тогда для него распределение степеней вершин [math] \begin{equation*} P(k) = {n-1 \choose k} p^k(1-p)^{n-1-k} \end{equation*} [/math]

[math]\triangleright[/math]

Действительно, если вероятность появления ребра [math]p[/math], то вероятность появления ровно [math]k[/math] рёбер у вершины равна [math]p^k(1-p)^{n-1-k}[/math](схема Бернулли). Таких наборов рёбер у одной вершины всего [math]{n-1 \choose k}[/math], откуда получаем искомое распределение.

[math]\triangleleft[/math]

Распределение максимальной степени вершин

Определение:

Распределение максимальной степени вершин случайного графа - это функция [math]Q(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi=x)[/math], то есть выражающая вероятность того, что максимальная степень вершины [math]\xi[/math] равна [math]x[/math].

Утверждение:

[math]Q(k) = P(k) \cdot (1 - \sum_{x=k+1}^{n} P(x))[/math]

[math]\triangleright[/math]

Будем выводить формулу для [math]Q(k)[/math] через распределение степеней вершин [math]P(k)[/math]. Максимальная степень вершины равна [math]k[/math] тогда и только тогда, когда не существует вершины степенью больше [math]k[/math]. Таким образом, нужно посчитать вероятность события [math]A: \exists v\in G: \; deg(v) = k \;\&\; !\exists v\in G: \; deg(v) \gt x[/math]. [math]P(\exists v: \; deg(v) = k) = P(k)[/math] [math]P(k)[/math] - вероятность того, что вершина имеет степень [math]k[/math]. Тогда вероятность того, что имеет одну из степеней [math]1...k[/math] - [math]\sum_{x=1}^{k}P(x)[/math]. Нам нужно обратное событие, при наступлении которого вершина имеет степень больше [math]k[/math]. Его вероятность равна [math]1 - \sum_{x=1}^{k} P(x)[/math]. [math]P(!\exists v: \; deg(v) \gt k) = 1 - \sum_{x=1}^{k} P(x)[/math] События независимы, поэтому получаем: [math]Q(k) = P(k) \cdot (1 - \sum_{x=1}^{k} P(x))[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теоремы о связи вероятности и матожидания

Теорема:

Пусть [math]N_z[/math] — число объектов в графе [math]G(n, p)[/math]. [math]A = \{G | N_z(G) \gt 0 \}[/math] — свойство. Тогда, если [math]E[N_z] \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math], то [math]A[/math] а.п.н ложно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенством Маркова: [math]P(N_z \gt 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant E[N_z] \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]N_z[/math] — число объектов в графе [math]G(n, p)[/math]. [math]A = \{G | N_z(G) \gt 0 \}[/math] — свойство. Тогда, если [math]E[N_z] \rightarrow \infty[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math], и [math]E[N_z^2] \leqslant (E[N_z])^2(1 + o(1))[/math] то [math]A[/math] а.п.н истинно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенством Чебышева: [math]P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(E[N_z] - N_z \geqslant E[N_z]) \leqslant P(|E[N_z] - N_z| \geqslant E[N_z]) \leqslant \dfrac{D[N_z]}{(E[N_z])^2} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Графы, имеющие диаметр два

Определение:

[math]A[/math] — некоторое свойство случайного графа. [math]p[/math] называется пороговой функцией (англ. threshold function), если граф [math]G(n, cp)[/math] при [math]c \lt 1[/math] а.п.н не имеет такого свойства, а при [math]c \gt 1[/math] а.п.н имеет.

Теорема:

Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда [math]p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}[/math] — пороговая функция.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Назовем вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] плохой парой, если кратчайшее расстояние между [math]u[/math] и [math]v[/math] больше двух. [math]B_{i, j}[/math] — индикаторная величина, равная [math]1[/math], если [math]i[/math] и [math]j[/math] являются плохой парой. [math]N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}[/math] [math]P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}[/math] Сначала докажем, что при [math]c \gt sqrt{2}[/math], граф а.п.н не имеет диаметр, равный двум. Для этого оценим матожидание [math]N_z[/math]. [math]EN_z = C_n^2(1 - p)(1 - p^2)^{n - 2} \approx \dfrac{n^2}{2}(1 - c\sqrt{\dfrac{\ln n}{n}})(1 - \dfrac{c^2\ln n}{n})^{n - 2} \leqslant \dfrac{n^2}{2}e^{-c^2\ln n} = \dfrac{n^{2 - c^2}}{2}[/math] При [math]c \gt \sqrt{2}[/math] последнее выражение стремится к [math]0[/math], по вышедоказанному граф а.п.н. не имеет диаметр, равный двум. Рассмотрим [math]c \lt \sqrt{2}[/math]: [math]EN_z^2 = E(\sum B_{i, j})^2 = E\sum B_{i,j}^2 + E\sum B_{i,j}B_{k,l} = EN_z + \sum EB_{i,j}B_{k,l}[/math] Рассмотрим сумму [math]\sum EB_{i,j}B_{k,l}[/math]: Если [math]i[/math], [math]j[/math], [math]k[/math] и [math]k[/math] различны, то [math]EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant (1 - p^2)^{2(n - 4)} \leqslant n^{-2c^2}(1 + o(1))[/math]. [math]\sum EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant n^{4 - 2c^2}(1 + o(1))[/math] [math]EB_{i,j}B_{i,l} = (1 - p + p(1 - p)^2)^{n - 3} \approx (1 - 2p^2)^{n - 3} = (1 - 2c^2\dfrac{\ln n}{n})^{n - 3} \approx e^{-2c^2 \ln n} = n^{-2c^2}[/math] [math]\sum EB_{i,j}B_{i,l} \leqslant n^{3 - 2c}[/math] В итоге: [math]EN_z^2 \leqslant n^{2 - c^2} + n^{4 - 2c^2} + n^{3 - 2c^2}[/math]. Из этого следует, что [math]EN_z \leqslant (EN_z)^2(1 + o(1))[/math], а значит граф а.п.н имеет диаметр, равный двум при [math]c \gt \sqrt{2}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Дискретная случайная величина
• Дисперсия случайной величины
• Математическое ожидание случайной величины

Источники информации

• Coursera — Онлайн-курс
• Wikipedia — Random graphs
• Avrim Blum, John Hopcroft, and Ravindran Kannan. «Foundations of Data Science» — «Cambridge University Press», 2013 г. — 245-260 стр. — ISBN 978-1108485067