Список заданий по теории сложности lite 2021

1. Докажите, что объединение и пересечение языков из $NP$ является языком из $NP$
2. Докажите, что конкатенация и замыкание Клини языков $NP$ является языком из $NP$
3. Когда мы задаем числа, мы обычно записываем их в десятичной системе счисления. Докажите, что выбор для формата ввода любой системы счисления с основанием $b \ge 2$ не влияет на принадлежность языка классу $P$.
4. В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $FAC.UNARY = \{\langle 1^n, 1^q \rangle |$ у $n$ существует делитель $t$, такой что $2 \le t \le q < n\}$ лежит в $P$. Почему это рассуждение не работает, если ввод происходит в двоичной системе счисления?
5. В унарной системе счисления число $n$ задаётся как $1^n$. Докажите, что язык $UNARY.SUBSET.SUM = \{\langle 1^s, [1^{a_1}, 1^{a_2}, \ldots, 1^{a_n}] \rangle |$ можно выбрать подмножество $\{a_1, a_2,\ldots, a_n\}$ с суммой $s\}$ лежит в $P$.
6. Язык $IND$ определяется следующим образом: $IND = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть независимое множество размера $k$}\}$. Докажите, что $IND\in NP$.
7. Язык $CLIQUE$ определяется следующим образом: $CLIQUE = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть клика размера $k$}\}$. Докажите, что $CLIQUE\in NP$.
8. Язык $VCOVER$ определяется следующим образом: $VCOVER = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть вершинное покрытие размера $k$}\}$. Докажите, что $VCOVER\in NP$.
9. Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.
10. В заданиях 4-5 приведены примеры задания численных значений в унарной системе счисления, чтобы перенести задачу из $NP$ в $P$. Можно ли применить аналогичный трюк в задачах 6-9?
11. В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
12. $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.
13. Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
14. Докажите, что сведение по Карпу не является симметричным отношением на языках.
15. Докажите, что сведение по Карпу не является антисимметричным отношением на языках.
16. Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?
17. Петя свёл язык $A$ по Карпу к $NP$-полному языку $B$. Учитель утверждает, что из этого не следует, что $A$ является $NP$-полным. Помогите учителю подобрать пример.
18. Формальная система доказательств представляет собой способ записи утверждений, аксиом, правила вывода и способ записи доказательств. Будем считать, что рассматривается достаточно богатая формальная система, в которой можно записывать различные утверждения про программы. Докажите, что язык $\{\langle \varphi, 1^n\rangle|\varphi$ - верное утверждение, имеющее доказательство длиной не больше $n\}$ является $NP$-трудным. Какие свойства надо предъявить к формальной системе, чтобы он являлся $NP$-полным?
19. Класс $EXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует детерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Докажите, что $NP \subset EXP$.
20. Класс $NEXP$ определяется как множество языков $L$, для которых существует недетерминированная программа, разрешающая $L$ за $O(2^{p(n)})$, где $p(n)$ - полином. Предложите понятие $NEXP$-полноты. По аналогии с $BH_{1N}$ определите язык $BH_{2N}$, докажите, что он является $NEXP$-полным.
21. Можно ли сделать альтернативное определение $NEXP$ на языке сертификатов, как мы сделали с $NP$?
22. Докажите, что если существует язык $L \in NEXPC \cap EXP$, то $NEXP = EXP$.
23. Предположим, что существует $NP$-полный язык, для которого существует решение за $O(n^{C\log_2n})$, где $C$ - константа. Что можно сказать про класс $NP$ в этом случае?
24. Рассмотрим языки $L_1 = \{\langle \Gamma, A, B\rangle|\Gamma$ - КС-грамматика, $A$ и $B$ - нетерминалы, множество слов, которые можно вывести из $A$ и $B$ совпадают$\}$, $L_2 = \{\langle \Gamma_1, \Gamma_2\rangle|\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ - КС-грамматики, языки которых совпадают$\}$. Докажите, что $L_1\le L_2$ и $L_2 \le L_1$. Что можно сказать об $NP$-полноте языков $L_1$ и $L_2$ на основании этого?
25. Сережа дал такое определение $NP$-полноты: язык $L$ является $NP$-полным по Серёже, если $L \in P \Rightarrow P = NP$. Прокомментируйте определение Серёжи.
26. В этой и следующих заданиях вы можете считать известной $NP$-полноту следующих языков: $3SAT = \{\varphi\,|\,$ существует набор $x$, где $\varphi(x)=1$, причем $\varphi$ находится в 3КНФ $\}$, $IND = \{\langle G, k\rangle\,|\,$ в $G$ существует независимое множество размера $k\}$, $HAM = \{G\,|\,$ в ориентированном графе $G$ существует гамильтонов цикл $\}$, а также всех, $NP$-полнота которых доказана в предыдущих заданиях. Докажите, что задача о клике $NP$-полна.
27. Докажите, что задача о вершинном покрытии $NP$-полна.
28. Изоморфизм подграфа $NP$-полный. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G_1, G_2 \rangle | G_1$ содержит $G_2$ как подграф $\}$.
29. Задача о покрытии подмножествами $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны $n$ множеств $S_i\subset\{1, 2, \ldots, m\}$ и число $k$. Язык наборов $SETCOVER = \{ \langle [S_1, S_2, \ldots, S_n], k\rangle$ можно выбрать не более $k$ множеств, чтобы каждый элемент от $1$ до $m$ лежал хотя бы в одном выбранном множестве $\}$.
30. Задача реберного покрытия обратных связей $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $\{\langle G, k \rangle | G$ - ориентированный граф, который содержит подмножество из $k$ ребер, такое, что любой цикл $G$ содержит хотя бы одно из выбранных ребер $\}$.
31. Задача поиска доминирующего множества $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $DOM = \{\langle G, k \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ либо выбрана, либо имеет выбранного соседа $\}$.
32. Задача пожарных депо. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество троек $\{\langle G, k, d \rangle | G$ содержит множество из $k$ вершин, таких, что любая вершина $G$ имеет выбранную вершину на расстоянии не больше $d\}$.
33. Задача о половинной клике. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $HALFCLIQUE=\{G | G$ имеет клику, содержащую ровно половину вершин $G\}$.
34. Задача о раскраске $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество пар $COL=\{\langle G, k\rangle | G$ имеет правильную раскраску в $k$ цветов $\}$.
35. Задача о раскраске в три цвета $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Множество графов $3COL=\{ G | G$ имеет правильную раскраску в три цвета $\}$. Что можно сказать про раскраску в два цвета?
36. Задача о рюкзаке $NP$-полна. Докажите $NP$-полноту следующего языка. Даны предметы с весом $w_i$ и стоимостью $v_i$. Язык наборов $KNAPSACK=\{ \langle s, [(v_1, w_1), (v_2, w_2), \ldots (v_n, w_n)], k\rangle | $ можно выбрать предметы с суммарным весом не более $s$ и суммарной стоимостью не менее $k \}$.
37. Задача целочисленного линейного программирования $NP$-трудна. Докажите $NP$-трудность следующего языка. Множество систем линейных ограничений, которые имеют целочисленное решение.
38. Неориентированный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $UHAM = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
39. Ориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $HAMP = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
40. Неориентированный гамильтонов путь. Докажите, что язык $UHAMP = \{G | G$ - неориентированный граф, содержащий гамильтонов путь$\}$ является $NP$-полным.
41. Выполните явное взаимное сведение языка $HAM = \{G | G$ - ориентированный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ и языков из предыдущих трех заданий, не обращаясь к общим теоремам типа теоремы Кука.
42. Неориентированный планарный гамильтонов цикл. Докажите, что язык $PUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
43. Неориентированный гамильтонов цикл в кубическом графе. Докажите, что язык $CUHAM = \{G | G$ - неориентированный кубический граф, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
44. Неориентированный гамильтонов цикл в почти кубическом планарном графе. Докажите, что язык $CPUHAM = \{G | G$ - неориентированный планарный граф, степени вершин которого не превышают 3, содержащий гамильтонов цикл$\}$ является $NP$-полным.
45. Задача коммивояжера. Докажите, что язык $WHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный ориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
46. Задача коммивояжера в неориентированном графе. Докажите, что язык $WUHAM = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
47. Задача коммивояжера в неориентированном графе без вершин степени 2. Докажите, что язык $WUHAN = \{\langle G, w\rangle | G $ - взвешенный неориентированный граф, в котором нет вершин степени 2 и существует гамильтонов путь длины не более $w \}$ является $NP$-полным.
48. Докажите, что $ZPP = RP \cap coRP$.
49. Докажите, что $BPP \subset PS$.
50. Докажите, что $RP \subset NP$.
51. Обозначим как $PP^+$ как класс языков, для которых существует вероятностная программа $M$, работающая за полином, что если $x \in L$, то $P(M(x) = 1) > 1/2$, а если $x \notin L$, то $P(M(x) = 0) \ge 1/2$. Докажите, что $PP^+ = PP$.
52. Докажите, что $NP \subset PP$.
53. Докажите, что если $NP \subset BPP$, то $NP = RP$.
54. В определении $ZPP$ нет требования, чтобы на любой вероятностной ленте программа завершалась. Докажите, что если добавить это ограничение, определение класса $ZPP$ не поменяется.
55. При симуляции $random(n)$ с помощью бросков честной монеты (или абстракции вероятностной ленты) математическое ожидание времени работы $random(n)$ равно $O(\log n)$, но нет ограничения сверху на число бросков. Кажется, что это может испортить определение классов $RP$ или $BPP$, потому что в них время работы программы должно быть ограничено сверху. Докажите, что это не так и можно разрешить конструкции $random(n)$ в вероятностных программах из определения $RP$ или $BPP$, даже если на самом деле в модели вычислений есть доступ к источнику случайности только с распределением честной монеты.
56. Пусть $n = pq$, предложите полиномиальный алгоритм, который по заданным $n$ и $\varphi(n)$ находит $p$ и $q$.
57. Факторизация через взлом RSA. Пусть $n = pq$, $ed = 1 \pmod{\varphi(n)}$, полиномиальный алгоритм по заданным $n$ и $e$ находит $d$. Докажите, что существует полиномиальный алгоритм, который по заданному $n$ находит $p$ и $q$.
58. Плохое $e$. Почему в алгоритме RSA нельзя использовать $e=2$?
59. Плохое $e$. Петя отправляет сообщение $x$ Алисе, Бобу и Чарли. Они все трое используют RSA с открытым ключом $e=3$ и разными $n_1$, $n_2$ и $n_3$. Помогите злоумышленнику, который перехватил все три зашифрованных сообщения, восстановить $x$. Сможет ли он восстановить $d_i$?
60. Переиспользование $n$. Петя отправляет сообщение $x$ Алисе и Бобу. Оба используют RSA с открытыми ключами $e_1$ и $e_2$ ($e_1$ и $e_2$ взаимно просты) и одинаковым $n$. Помогите злоумышленнику, который перехватил оба зашифрованных сообщения, восстановить $x$. Сможет ли он восстановить $d_i$?
61. Бросок монеты по телефону. Используя алгоритм слепой цифровой подписи предложите алгоритм, который позволяет Алисе и Бобу подбросить честную монету по телефону. Честная монета у каждого из них есть, в результате общения каждый из них должен иметь одно и то же значение $x$ и его априорное распределение должно быть как у честной монеты.