Инициализация параметров глубокой сети — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(правки по инициализации числами)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 13: Строка 13:
 
Так как мы сами выбираем параметры распределения, то мы их можем подобрать так, чтобы $\mathbb{E}[w_i]=0$ (для всех слоев). Также можно добиться того, чтобы для первого слоя $\mathbb{E}[x_i]=0$, если данные будут центрироваться в ходе нормализации, тогда:
 
Так как мы сами выбираем параметры распределения, то мы их можем подобрать так, чтобы $\mathbb{E}[w_i]=0$ (для всех слоев). Также можно добиться того, чтобы для первого слоя $\mathbb{E}[x_i]=0$, если данные будут центрироваться в ходе нормализации, тогда:
 
*<tex>(\mathbb{E}[x_i]=0, \mathbb{E}[w_i]=0) \Rightarrow \mathrm{Var}[y_i]=\mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i]</tex>
 
*<tex>(\mathbb{E}[x_i]=0, \mathbb{E}[w_i]=0) \Rightarrow \mathrm{Var}[y_i]=\mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i]</tex>
−
Предыдущее предположение верно для первого слоя. Не трудно показать, что для всех следующих слоев оно тоже будет верно, если использовать симметричную функцию активации, которая будет сохранять нулевое матожидание. Пусть $x=f(y_{prev})$, где $f$ это симметричная функция активации, а $y_{prev}=w_{prev}^T x_{prev}$ (предыдущее представление). Покажем что $\mathbb{E}[x]=0$:
+
Предыдущее предположение верно для первого слоя. Не трудно показать, что для всех следующих слоев оно тоже будет верно, если использовать симметричную функцию активации, которая будет сохранять нулевое математическое ожидание. Пусть $x=f(y_{prev})$, где $f$ это симметричная функция активации, а $y_{prev}=w_{prev}^T x_{prev}$ (предыдущее представление). Покажем что $\mathbb{E}[x]=0$:
−
*<tex>\mathbb{E}[y_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}}] \mathbb{E}[x_{prev_{i}}]=0</tex><br>Мы можем расписать матожидание произведения, как произведение матожиданий, поскольку $w$ и $x$ независимы.<br><tex>\Rightarrow \mathbb{E}[y_{prev}]=\mathbb{E}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_{prev_{i}}]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}(\mathbb{E}[y_{prev_{i}}])=0</tex><br><tex>\Rightarrow \mathbb{E}[x]=\mathbb{E}[f(y_{prev})]=0</tex><br>Поскольку $f$ симметрична.
+
*<tex>\mathbb{E}[y_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}}] \mathbb{E}[x_{prev_{i}}]=0</tex><br>Мы можем расписать математическое ожидание произведения, как произведение мат. ожиданий, поскольку $w$ и $x$ независимы.<br><tex>\Rightarrow \mathbb{E}[y_{prev}]=\mathbb{E}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_{prev_{i}}]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}(\mathbb{E}[y_{prev_{i}}])=0</tex><br><tex>\Rightarrow \mathbb{E}[x]=\mathbb{E}[f(y_{prev})]=0</tex><br>Поскольку $f$ симметрична.
 
Поскольку $x_i$ мы отнормировали, а $w_i$ из одного распределения, то все дисперсии одинаковые:
 
Поскольку $x_i$ мы отнормировали, а $w_i$ из одного распределения, то все дисперсии одинаковые:
 
*<tex>\mathrm{Var}[y]=\mathrm{Var}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_i]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}\mathrm{Var}[w_i x_i]=n_{in} \mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i]</tex>
 
*<tex>\mathrm{Var}[y]=\mathrm{Var}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_i]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}\mathrm{Var}[w_i x_i]=n_{in} \mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i]</tex>
Строка 23: Строка 23:
 
*Если коэффициент будет $<1$ это приведет к снижению дисперсии с каждым новым преобразованием с около нулевым промежуточным представлением, что тоже негативно скажется на обучении сети.
 
*Если коэффициент будет $<1$ это приведет к снижению дисперсии с каждым новым преобразованием с около нулевым промежуточным представлением, что тоже негативно скажется на обучении сети.
  
−
Если бы мы не использовали между слоями функцию активации, то дисперсия на последнем слое совпадала бы с дисперсией при инициализации входных данных, но использовать глубокую сеть без функции активации не имеет смысла, потому что она добавляет нелинейность нашей модели, чтобы выявлять более сложные закономерности. Поэтому, если мы будем использовать симметричную функцию активации, дисперсия на первом слое и на последнем все еще будет отличаться, но уже не экспоненциально.
+
Если бы мы не использовали между слоями функцию активации, то дисперсия на последнем слое совпадала бы с дисперсией при инициализации входных данных, но использовать глубокую сеть без функции активации не имеет смысла, потому что она добавляет нелинейность нашей модели, чтобы выявлять более сложные закономерности. Поэтому, если мы будем использовать симметричную функцию активации, дисперсия на первом слое и на последнем все еще будет отличаться, но коэффициент $n_{in} \mathrm{Var}[w_i]$ уже не будет вносить вклад в дисперсию.
  
 
Поэтому для начальной инициализации параметров стоит использовать такое распределение, что $\mathrm{Var}[w_i]=\frac{1}{n_{in}}$, которое позволит контролировать изменение дисперсии.
 
Поэтому для начальной инициализации параметров стоит использовать такое распределение, что $\mathrm{Var}[w_i]=\frac{1}{n_{in}}$, которое позволит контролировать изменение дисперсии.
Строка 57: Строка 57:
 
Поэтому мы будем пытаться контролировать дисперсию не между слоями, а между входами ReLU. Пусть представление на входе было получено после применения данной функции активации к предыдущему представлению $y_{prev}$:
 
Поэтому мы будем пытаться контролировать дисперсию не между слоями, а между входами ReLU. Пусть представление на входе было получено после применения данной функции активации к предыдущему представлению $y_{prev}$:
 
*<tex>x=\mathrm{ReLU}(y_{prev})</tex>
 
*<tex>x=\mathrm{ReLU}(y_{prev})</tex>
−
Давайте покажем, что $\mathbb{E}[y_{prev}]=0$, так как $w_{prev_{i}}$ и $x_{prev_{i}}$ независимы:
+
$\mathbb{E}[y_{prev}]=0$, так как $w_{prev_{i}}$ и $x_{prev_{i}}$ независимы. Доказательство было в главе про инициализацию случайными числами.
−
*<tex>\mathbb{E}[y_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}}] \mathbb{E}[x_{prev_{i}}]=0</tex><br><tex>\Rightarrow \mathbb{E}[y_{prev}]=\mathbb{E}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_{prev_{i}}]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}(\mathbb{E}[y_{prev_{i}}])=0</tex>
+
 
 
Также $y_{prev_i}$ распределены симметрично относительно нуля:
 
Также $y_{prev_i}$ распределены симметрично относительно нуля:
 
*<tex>\mathbb{P}(y_{prev_i}>0)=\mathbb{P}(w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}>0)</tex><br><tex>=\mathbb{P}((w_{prev_{i}}>0 \wedge x_{prev_{i}}>0) \vee ((w_{prev_{i}}<0 \wedge x_{prev_{i}}<0)))</tex><br><tex>=\mathbb{P}(w_{prev_{i}}>0)\mathbb{P}(x_{prev_{i}}>0)+\mathbb{P}(w_{prev_{i}}<0)\mathbb{P}(x_{prev_{i}}<0)</tex><br><tex>=\frac{1}{2}\mathbb{P}(x_{prev_{i}}>0)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(x_{prev_{i}}<0)=\frac{1}{2}</tex>
 
*<tex>\mathbb{P}(y_{prev_i}>0)=\mathbb{P}(w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}>0)</tex><br><tex>=\mathbb{P}((w_{prev_{i}}>0 \wedge x_{prev_{i}}>0) \vee ((w_{prev_{i}}<0 \wedge x_{prev_{i}}<0)))</tex><br><tex>=\mathbb{P}(w_{prev_{i}}>0)\mathbb{P}(x_{prev_{i}}>0)+\mathbb{P}(w_{prev_{i}}<0)\mathbb{P}(x_{prev_{i}}<0)</tex><br><tex>=\frac{1}{2}\mathbb{P}(x_{prev_{i}}>0)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(x_{prev_{i}}<0)=\frac{1}{2}</tex>

Текущая версия на 19:11, 4 сентября 2022

Инициализация — это процесс установки настраиваемых параметров для нашей глубокой сети. Выбор правильного метода инициализации важен для качества обучения нашей модели. Также это позволяет сократить время сходимости и минимизировать функцию потерь. Поэтому важно уметь выбрать правильный метод инициализации.

Наивная инициализация

Если задать все параметры нулевыми или константными значениями, это приведёт к тому, что наша сеть либо совсем не обучится, либо абсолютно все нейроны будут вести себя одинаково — совсем не то, что мы хотим получить. Глубокая сеть должна обучаться разным признакам.

Инициализация случайными числами

Рассмотрим линейное преобразование:

  • [math]y=w^Tx+b=\sum(w_i x_i)+b=\sum(y_i)+b[/math]

Примем значение вектора смещения $b$ нулевым, тогда дисперсия линейного преобразования (считаем настраиваемые параметры и входные данные независимыми):

Так как мы сами выбираем параметры распределения, то мы их можем подобрать так, чтобы $\mathbb{E}[w_i]=0$ (для всех слоев). Также можно добиться того, чтобы для первого слоя $\mathbb{E}[x_i]=0$, если данные будут центрироваться в ходе нормализации, тогда:

  • [math](\mathbb{E}[x_i]=0, \mathbb{E}[w_i]=0) \Rightarrow \mathrm{Var}[y_i]=\mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i][/math]

Предыдущее предположение верно для первого слоя. Не трудно показать, что для всех следующих слоев оно тоже будет верно, если использовать симметричную функцию активации, которая будет сохранять нулевое математическое ожидание. Пусть $x=f(y_{prev})$, где $f$ это симметричная функция активации, а $y_{prev}=w_{prev}^T x_{prev}$ (предыдущее представление). Покажем что $\mathbb{E}[x]=0$:

  • [math]\mathbb{E}[y_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}]=\mathbb{E}[w_{prev_{i}}] \mathbb{E}[x_{prev_{i}}]=0[/math]
    Мы можем расписать математическое ожидание произведения, как произведение мат. ожиданий, поскольку $w$ и $x$ независимы.
    [math]\Rightarrow \mathbb{E}[y_{prev}]=\mathbb{E}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_{prev_{i}}]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}(\mathbb{E}[y_{prev_{i}}])=0[/math]
    [math]\Rightarrow \mathbb{E}[x]=\mathbb{E}[f(y_{prev})]=0[/math]
    Поскольку $f$ симметрична.

Поскольку $x_i$ мы отнормировали, а $w_i$ из одного распределения, то все дисперсии одинаковые:

  • [math]\mathrm{Var}[y]=\mathrm{Var}[\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}[y_i]]=\sum\limits_{i=1}^{n_{in}}\mathrm{Var}[w_i x_i]=n_{in} \mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i][/math]

Отсюда видно, что дисперсия результата линейно зависит от дисперсии входных данных с коэффициентом $n_{in} \mathrm{Var}[w_i]$, поэтому если инициализировать параметры так, что $\mathrm{Var}[w_i]=\frac{1}{n_{in}}$, то наша дисперсия будет равна $\mathrm{Var}[x_i]$.

  • Если коэффициент будет $>1$ это приведет к увеличению дисперсии с каждым новым преобразованием, что может привести к ошибкам или насыщению функции активации, что негативно скажется на обучении сети.
  • Если коэффициент будет $<1$ это приведет к снижению дисперсии с каждым новым преобразованием с около нулевым промежуточным представлением, что тоже негативно скажется на обучении сети.

Если бы мы не использовали между слоями функцию активации, то дисперсия на последнем слое совпадала бы с дисперсией при инициализации входных данных, но использовать глубокую сеть без функции активации не имеет смысла, потому что она добавляет нелинейность нашей модели, чтобы выявлять более сложные закономерности. Поэтому, если мы будем использовать симметричную функцию активации, дисперсия на первом слое и на последнем все еще будет отличаться, но коэффициент $n_{in} \mathrm{Var}[w_i]$ уже не будет вносить вклад в дисперсию.

Поэтому для начальной инициализации параметров стоит использовать такое распределение, что $\mathrm{Var}[w_i]=\frac{1}{n_{in}}$, которое позволит контролировать изменение дисперсии.

Метод инициализации Xavier[1]

Предыдущий подход хорошо работает, когда размерность наших данных не изменяется после преобразований $(n_{in} = n_{out})$, но так бывает не всегда. В качестве компромисса Xavier Glorot и Yoshua Bengio предлагают инициализировать параметры из распределения с дисперсией $\mathrm{Var}[w_i]=\frac{2}{n_{in}+n_{out}}$.

Для равномерного распределения $\mathcal U$ это будет:

  • [math]w_i \sim \mathcal U[-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{n_{in}+n_{out}}},\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{n_{in}+n_{out}}}][/math]

Для нормального распределения $\mathcal N$ это будет:

  • [math]w_i \sim \mathcal N(0,\frac{2}{n_{in}+n_{out}})[/math]

Этот способ инициализации хорошо подойдет для симметричных относительно нуля функций активации (например гиперболический тангенс), для ReLU[2] данный способ не подходит.

Пример инициализации Xavier на языке Python с фреймворком PyTorch

   # инициализация параметров одного слоя
   conv1 = torch.nn.Conv2d(...)
   torch.nn.init.xavier_uniform(conv1.weight)

Пример инициализации Xavier на языке Python с библиотекой TensorFlow

   # инициализация параметров тензора 2x2
   initializer = tf.keras.initializers.GlorotUniform()
   values = initializer(shape=(2, 2))

Метод инициализации He[3]

Поскольку ReLU несимметричная функция $f(x) = max(0, x)$, мы уже не можем утверждать, что среднее значение входных данных в каждом преобразовании будет нулевым:

  • [math](\mathbb{E}[x_i] \neq 0, \mathbb{E}[w_i]=0)[/math]
    [math]\Rightarrow \mathrm{Var}[y_i]=\mathbb{E}[x_i]^2\mathrm{Var}[w_i] + \mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[x_i]=\mathrm{Var}[w_i](\mathbb{E}[x_i]^2 + \mathrm{Var}[x_i])=\mathrm{Var}[w_i]\mathbb{E}[x_i^2][/math]
    [math]\Rightarrow \mathrm{Var}[y]=n_{in}\mathrm{Var}[w_i]\mathbb{E}[x_i^2][/math]

Поэтому мы будем пытаться контролировать дисперсию не между слоями, а между входами ReLU. Пусть представление на входе было получено после применения данной функции активации к предыдущему представлению $y_{prev}$:

  • [math]x=\mathrm{ReLU}(y_{prev})[/math]

$\mathbb{E}[y_{prev}]=0$, так как $w_{prev_{i}}$ и $x_{prev_{i}}$ независимы. Доказательство было в главе про инициализацию случайными числами.

Также $y_{prev_i}$ распределены симметрично относительно нуля:

  • [math]\mathbb{P}(y_{prev_i}\gt 0)=\mathbb{P}(w_{prev_{i}} x_{prev_{i}}\gt 0)[/math]
    [math]=\mathbb{P}((w_{prev_{i}}\gt 0 \wedge x_{prev_{i}}\gt 0) \vee ((w_{prev_{i}}\lt 0 \wedge x_{prev_{i}}\lt 0)))[/math]
    [math]=\mathbb{P}(w_{prev_{i}}\gt 0)\mathbb{P}(x_{prev_{i}}\gt 0)+\mathbb{P}(w_{prev_{i}}\lt 0)\mathbb{P}(x_{prev_{i}}\lt 0)[/math]
    [math]=\frac{1}{2}\mathbb{P}(x_{prev_{i}}\gt 0)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(x_{prev_{i}}\lt 0)=\frac{1}{2}[/math]

Из предыдущих двух выкладок следует:

  • [math]\mathbb{E}[x_i^2]=\mathbb{E}[max(0, y_{prev})^2]=\frac{1}{2}\mathbb{E}[y_{prev}^2]=\frac{1}{2}\mathrm{Var}[ y_{prev}][/math]
    [math]\Rightarrow \mathrm{Var}[y]=\frac{1}{2}n_{in}\mathrm{Var}[w_i]\mathrm{Var}[y_{prev}][/math]

Получается, что при использовании ReLU, нужно инициализировать параметры из распределения с дисперсией $\mathrm{Var}[w_i]=\frac{2}{n_{in}}$.

Для равномерного распределения $\mathcal U$ это будет:

  • [math]w_i \sim \mathcal U[-\sqrt{\frac{3}{n_{in}}},\sqrt{\frac{3}{n_{in}}}][/math]

Для нормального распределения $\mathcal N$ это будет:

  • [math]w_i \sim \mathcal N(0,\frac{2}{n_{in}})[/math]

Пример инициализации He на языке Python с фреймворком PyTorch

  # инициализация параметров одного слоя
  conv1 = torch.nn.Conv2d(...)
  torch.nn.init.kaiming_uniform_(conv1.weight)

Пример инициализации He на языке Python с библиотекой TensorFlow

  # инициализация параметров тензора 2x2
  initializer = tf.keras.initializers.HeUniform()
  values = initializer(shape=(2, 2))

См.также

Примечания

  1. ↑ Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks
  2. ↑ ReLU, Wikipedia
  3. ↑ Delving deep into rectifiers: Surpassing human-level performance on ImageNet classification

Источники информации

  1. Онлайн-учебник по машинному обучению от ШАД
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Инициализация_параметров_глубокой_сети&oldid=84585»