Избыточное кодирование, код Хэмминга

Избыточное кодирование (англ. redundant encoding) — вид кодирования, использующий избыточное количество информации с целью последующего контроля целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи.

Определение:

Код определяет [math]d[/math] ошибок, если при передаче кодового слова, в котором [math]\leq d[/math] ошибок, алгоритм декодирования скажет, что есть ошибка.

Определение:

Код исправляет [math]d[/math] ошибок, если при передаче кодового слова, в котором [math]\leq d[/math] ошибок, алгоритм декодирования сможет восстановить исходное слово.

Код, определяющий одну ошибку

Увеличив объем кода на [math]1[/math] бит, можно получить возможность определять при передаче наличие одной ошибки. Для этого к коду нужно добавить бит [math]x[/math]: [math]0110..10x[/math], такой, чтобы сумма всех единиц была четной. В случае, если контрольная сумма окажется нечетной, следует отправить запрос на повторную посылку элемента, в котором была обнаружена ошибка. Такое кодирование применяется только если вероятность ошибки крайне мала, например, в оперативной памяти компьютера.

Кодирование Хэмминга

Кодирование Хэмминга предусматривает как возможность обнаружения ошибки, так и возможность её исправления. Рассмотрим простой пример — закодируем четыре бита: [math]a, b, c, d[/math]. Полученный код будет иметь длину [math]8[/math] бит и выглядеть следующим образом: [math]a,b,c,d, a \oplus b, c \oplus d, a \oplus c, b \oplus d.[/math] Рассмотрим табличную визуализацию кода:

[math]a[/math]	[math]b[/math]	[math]a \oplus b[/math]
[math]c[/math]	[math]d[/math]	[math]c \oplus d[/math]
[math]a \oplus c[/math]	[math] b \oplus d [/math]

Как видно из таблицы, даже если один из битов [math]a, b, c, d[/math] передался с ошибкой, содержащие его [math]xor[/math]-суммы не сойдутся. Итого, зная строку и столбец в проиллюстрированной таблице можно точно исправить ошибочный бит. Если один из битов [math]a \oplus b, a \oplus c, b \oplus d, c\oplus d[/math] передался с ошибкой, то не сойдется только одна сумма и очевидно, что можно легко определить, какой бит неверный

По аналогичному принципу можно закодировать любое число бит. Пусть мы имеем исходную строку длиной в [math]2^k[/math] бит. Для получения её кода добавим к ней [math]k[/math] пар бит по следующему принципу:

• Первая пара: сумма четных бит и сумма нечетных бит
• Вторая пара: сумма тех бит, в чьем номере второй бит с конца ноль и сумма тех бит, в чьем номере второй бит с конца единица

...

• [math]k[/math]-тая пара: сумма тех бит, в чьем номере [math]k[/math]-тый бит с конца ноль и сумма тех бит, в чьем номере [math]k[/math]-тый бит с конца единица
  

Соответствие добавленной информации исходным битам. Первый вариант кодирования соответствует использованию битов, раскрашенных в тёмные и светлые цвета, оптимизация — в тёмные цвета и серый

Легко понять, что если в одном бите из строки допущена ошибка, то с помощью дописанных [math]k[/math] пар бит можно точно определить, какой именно бит ошибочный. Это объясняется тем, что каждая пара определяет один бит номера ошибочного бита в строке. Всего пар [math]k[/math], следовательно мы имеем [math]k[/math] бит номера ошибочного бита, что вполне достаточно: общее число бит строки не превосходит [math]2^k+2k[/math].

Теперь заметим, что в случае наличия ошибки в исходной строке, ровно один бит в каждой паре будет равен единице. Тогда можно оставить только один бит из пары. Однако этого будет недостаточно, поскольку если только один добавленный бит не соответствует строке, то нельзя понять, ошибка в нём или в строке. На этот случай можно добавить ещё один контрольный бит — [math] \mathrm X \mathrm O \mathrm R[/math] всех битов строки.

Итого, увеличивая код длиной [math]n[/math] на [math]\log_2 n + 1[/math], можно обнаружить и исправить одну ошибку.

См. также

• Обнаружение и исправление ошибок кодирования

Источники информации

• Wikipedia — Hamming code