Класс IP

Определение

Интерактивный протокол доказательства - абстрактная машина, модулирующая вычисление как передачу сообщений между двумя сущностями: [math]P[/math] - prover и [math]V[/math] - verifier. В ходе данного взаимодействия [math]P[/math] и [math]V[/math] определяют, принадлежит ли данное слово [math]x[/math] языку. [math]P[/math] имеет неограниченную вычислительную мощность и пытается доказать, что [math]x[/math] принадлежит языку. [math]V[/math] - вероятностная машина Тьюринга, работающая за полином и проверяющая информацию от [math]P[/math]. При этом [math]P[/math] не видит вероятностную ленту [math]V[/math]. [math]V[/math] хочет допустить слово тогда и только тогда, когда оно принадлежит языку.

Определение

Классом [math]IP[f(n)][/math] (IP = interactive proof) называется множество языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства. При этом:

1) [math]x \in L \Rightarrow Pr(V^{P}(x)=1)\ge \frac{2}{3} \ [/math], где [math]Pr(V^{P}(x)=1)[/math] - вероятность того, что [math]V[/math] допустит [math]x[/math]

2) [math]\forall Q :\ x \notin L \Rightarrow Pr(V^{Q}(x)=1)\le \frac{1}{3} [/math]

3) количество обращений к [math]P \le f(n) [/math]

Теорема

[math]NP \subset IP[1] [/math], [math]BPP \subset IP[0] [/math]

Доказательство

Первое утверждение верно, так как определить, принадлежит ли слово языку, можно за один запрос. [math]V[/math] посылает запрос к [math]P[/math] и в ответ либо получает сертификат, если слово принадлежит языку. Если слово не принадлежит языку, то сертификата не существует, а значит [math]P[/math] не может его послать. [math]P[/math] хочет убедить [math]V[/math] в том, что слово принадлежит языку, поэтому пришлет сертификат в случае его существования.

Второе утверждение очевидно, так как для проверки принадлежности слова к языку из BPP хватает вычислительной мощности [math]V[/math], и запросов к [math]P[/math] делать не нужно.

Замечание

На самом деле [math]NP \subset dIP[1] [/math], где [math] dIP[1] [/math] - аналог [math] IP[1] [/math], за исключением того, что [math] V[/math] из [math] dIP[1] [/math] - детерминированная машина Тьюринга.

Определение

[math]IP = IP[poly][/math] - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства с полиномиальным числом запросов от [math]V[/math] к [math]P[/math].