Пороговая функция

Определение:

Булева функция [math]f(A_1,A_2,...,A_n)[/math] называется пороговой, если ее можно представить в виде [math]f(A_1,A_2,...,A_n) = [A_1 a_1+A_2 a_2+...+A_n a_n=\sum_{i=1}^n A_i a_i \ge T][/math], где [math]a_i, T \in R[/math]

Обычно пороговую функцию записывают в следующим виде: [math]f = [a_1,a_2,a_3,...,a_n;T][/math].

Для примера рассмотрим функцию трёх аргументов [math]f(A_1,A_2,A_3)=[3,4,6;5][/math]. Согласно этой записи имеем

[math]a_1=3; a_2=4; a_3=6; T=5[/math].

Все наборы значений аргументов [math]A_1, A_2, A_3[/math] на которых функция принимает единичное (либо нулевое) значение, можно получить из соотношения вида [math]A_1 3+A_2 4+A_36\gt 5[/math].

Если [math]A_1=0;A_2=0;A_3=0, то 0\lt 5 и f=0[/math].

Если [math]A_1=0;A_2=0;A_3=1, то 6\gt 5 и f=1[/math].

Если [math]A_1=0;A_2=1;A_3=0, то 4\lt 5 и f=0[/math].

Если [math]A_1=0;A_2=1;A_3=1, то 10\gt 5 и f=1[/math].

Если [math]A_1=1;A_2=0;A_3=0, то 3\lt 5 и f=0[/math].

Если [math]A_1=1;A_2=0;A_3=1, то 9\gt 5 и f=1[/math].

Если [math]A_1=1;A_2=1;A_3=0, то 7\gt 5 и f=1[/math].

Если [math]A_1=1;A_2=1;A_3=1, то 13\gt 5 и f=1[/math].

Таким образом, заданная функция принимает единичное значение на наборах 001, 011, 101, 110, 111. Её минимальная форма имеет вид

[math]f=A_1 A_2 + A_3[/math].

Для всякой пороговой функции справедливо

[math][a_1,a_2,a_3,...,a_n;T]=[ka_1,ka_2,ka_3,...,ka_n;kT][/math],

где k — натуральное число. Чтобы убедиться в этом достаточно записать

[math]ka_1 A_1+ka_2 A_2+...+ka_n A_n \ge kT[/math]

[math]ka_1 A_1+ka_2 A_2+...+ka_n A_n \lt kT[/math]

и разделить обе части неравенства на [math]k[/math].

Пример непороговой функции

Примером непороговой функции может служить Сложение по модулю 2 ([math]XOR[/math]).

При аргументах (0, 1) значение функции [math]XOR[/math] равно 1. Тогда, по определению пороговой функции выполняется неравенство [math]A_1 x+A_2 x\gt T[/math], подставляя значения аргументов, получаем [math]A_2\gt T[/math]. Аналогично, при аргументах (1, 0) получаем [math]A_1\gt T[/math]. Отсюда следует, что [math]A_1+A_2\gt T[/math]. Но это неравенстово не выполняется при аргументах (1, 1). Значит, функция [math]XOR[/math] непороговая.

Источники

• пороговая функция